Velocitat de l’aigua dins la mànega

Considereu una mànega de secció circular de diàmetre interior de $2,0$ cm, per la qual flueix aigua a una taxa de $0,25$ litres per cada segon. Quina és la velocitat de l’aigua a la mànega? L’orifici del filtre de la mànega és d’$1,0$ cm de diàmetre interior. Quina és la velocitat de sortida de l’aigua?

En aquest problema, volem determinar la velocitat de l’aigua dins d’una mànega i la velocitat de sortida per l’orifici de la boquilla.

1. Velocitat de l’aigua a la mànega

Donades les següents dades:

• Diàmetre interior de la mànega $d_{\text{mànega}}$: $2,0$ cm $= 0,02$ m
• Tassa de flux d’aigua $Q = 0,25$ litres per segon $= 0,25$ L/s $= 0,25\cdot10^{-3}$ m$^3$/s

Primer, calculem l’àrea de la secció transversal de la mànega:
$$$A_{\text{mànega}} = \frac{\pi d_{\text{mànega}}^2}{4} = \frac{\pi \cdot (0,02 \, \text{m})^2}{4} \approx 3,14 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$$

Utilitzant l’equació de continuïtat, que diu que el flux volumètric és constant al llarg de la mànega, podem trobar la velocitat de l’aigua $v_{\text{mànega}}$:
$$v_{\text{mànega}} = \frac{Q}{A_{\text{mànega}}} = \frac{0,25 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}}{3,14 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} \approx 0,796 \, \text{m/s}$$

Per tant, la velocitat de l’aigua dins la mànega és aproximadament $0,796$ m/s.

2. Velocitat de sortida de l’aigua per l’orifici

Donat el diàmetre interior de l’orifici $d_{\text{orifici}} = 1,0$ cm $= 0,01$ m

Calculem primer l’àrea de la secció transversal de l’orifici:
$$A_{\text{orifici}} = \frac{\pi d_{\text{orifici}}^2}{4} = \frac{\pi \cdot (0,01 \, \text{m})^2}{4} \approx 7,85 \times 10^{-5} \, \text{m}^2$$

Utilitzant de nou l’equació de continuïtat, trobem la velocitat de sortida de l’aigua per l’orifici $v_{\text{orifici}}$:
$$v_{\text{orifici}} = \frac{Q}{A_{\text{orifici}}} = \frac{0,25 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}}{7,85 \times 10^{-5} \, \text{m}^2} \approx 3,18 \, \text{m/s}$$

Per tant, la velocitat de sortida de l’aigua per l’orifici de la boquilla de la mànega és aproximadament $3,18$ m/s.