Moviment Harmònic Simple d’una Massa Subjecta a una Molla

Una massa de $200$ g està connectada a una molla de constant elàstica $k = 80 \, \text{N/m}$ i oscil·la horitzontalment sobre una superfície sense fricció, seguint un moviment harmònic simple (MAS). En l’instant inicial ($t = 0$), la massa es troba a una elongació de $5$ cm respecte a la posició d’equilibri i es deixa anar sense velocitat inicial.

a) Determineu l’equació de l’elongació $x(t)$ de la massa en funció del temps.
b) Calculeu el període d’oscil·lació i la freqüència del moviment.
c) Obtingueu la velocitat i l’acceleració de la massa quan l’elongació és $x = 3 \, \text{cm}$.
d) Calculeu l’energia mecànica total del sistema i l’energia potencial elàstica quan la massa passa pel punt d’equilibri.

Dades:

• Massa: $m = 200 \, \text{g} = 0,2 \, \text{kg}$
• Constant elàstica: $k = 80 \, \text{N/m}$
• Amplitud (elongació inicial): $A = 5 \, \text{cm} =0,05 \, \text{m}$
• Velocitat inicial: $v(0) = 0 \, \text{m/s}$
• Posició inicial: $x(0) = 0,05 \, \text{m}$

Solució guiada (per a nivell de batxillerat):

a) Equació de l’elongació $x(t)$

La freqüència angular $\omega$ es calcula com:
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{80}{0,2}} = \sqrt{400} = 20 \, \text{rad/s}$$

L’equació general de l’elongació en un MAS és:
$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

Com a $t = 0$, $x(0) = 0,05 \, \text{m}$ i la velocitat inicial és zero, assumim que la massa comença en una posició extrema ($\cos(\phi) = 1$):
$$x(0) = A \cos(\phi) = 0,05 \implies 0,05 \cdot \cos(\phi) = 0,05 \implies \cos(\phi) = 1 \implies \phi = 0$$

Per tant, l’equació de l’elongació és:
$$x(t) = 0,05 \cos(20 t) \, \text{m}$$

Resposta:
$$x(t) = 0,05 \cos(20 t) \, \text{m}$$

b) Període i freqüència del moviment

Període:
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0,314 \, \text{s}$$

Freqüència:
$$f = \frac{1}{T} = \frac{10}{\pi} \approx 3,18 \, \text{Hz}$$

Resposta:

• Període: $T \approx 0,314 \, \text{s}$
• Freqüència: $f \approx 3,18 \, \text{Hz}$

c) Velocitat i acceleració a $x = 3 \, \text{cm}$

Velocitat:
La velocitat és la derivada de l’elongació:
$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t) = -0,05 \cdot 20 \sin(20 t) = -1 \sin(20 t) \, \text{m/s}$$

Quan $x = 3 \, \text{cm} = 0,03 \, \text{m}$:
$$x(t) = 0,05 \cos(20 t) = 0,03 \implies \cos(20 t) = \frac{0,03}{0,05} = 0,6$$
$$\sin(20 t) = \sqrt{1 – \cos^2(20 t)} = \sqrt{1 – 0,6^2} = \sqrt{1 – 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$$
Per tant:
$$v = -1 \cdot 0,8 = -0,8 \, \text{m/s} \quad (\text{el signe negatiu indica la direcció})$$

Acceleració:
L’acceleració és:
$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t) = -0,05 \cdot 20^2 \cos(20 t) = -0,05 \cdot 400 \cdot 0,6 = -12 \, \text{m/s}^2$$

Resposta:

• Velocitat: $v \approx -0,8 \, \text{m/s}$
• Acceleració: $a \approx -12 \, \text{m/s}^2$

d) Energia mecànica total i energia potencial al punt d’equilibri

Energia mecànica total:
L’energia total en un MAS és constant i igual a l’energia potencial màxima:
$$E_{\text{total}} = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot (0,05)^2 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0,0025 = 0,1 \, \text{J}$$

Energia potencial al punt d’equilibri:
En el punt d’equilibri ($x = 0$):
$$E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 0^2 = 0 \, \text{J}$$

Resposta:

• Energia mecànica total: $E_{\text{total}} = 0,1 \, \text{J}$
• Energia potencial al punt d’equilibri: $E_p = 0 \, \text{J}$