Càlcul de la trajectòria d’un projectil

Es llança des del terra un objecte amb velocitat inicial $v = 16 \, \text{m/s}$ que forma un angle de $30^\circ$ amb l’horitzontal. Es demana trobar: temps de vol, abast màxim, altura màxima, velocitat total $0,5$ segons abans que arribi al terra i equació de la trajectòria.

Dades inicials:

• Velocitat inicial: $v_0 = 16 \, \text{m/s}$.
• Angle de llançament: $\theta = 30^\circ$.
• Acceleració gravitacional: $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$.
• Components de la velocitat inicial:
  $$v_{0x} = v_0 \cos \theta = 16 \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13,86 \, \text{m/s},$$
  $$v_{0y} = v_0 \sin \theta = 16 \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \, \text{m/s}.$$

1. Temps de vol

El temps de vol es calcula quan l’objecte torna a terra ($y = 0$). L’equació de la posició vertical és:
$$y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2.$$
Quan $y = 0$:
$$0 = 8 t – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \implies 0 = 8 t – 4,9 t^2 \implies t (8 – 4,9 t) = 0.$$
Solucions: $t = 0$ (inici) o $8 – 4,9 t = 0 \implies t = \frac{8}{4,9} \approx 1,63 \, \text{s}$.

Temps de vol: $t_{\text{vol}} \approx 1,63 \, \text{s}$.

2. Abast màxim

L’abast màxim és la distància horitzontal quan $t = t_{\text{vol}}$. L’equació horitzontal és:
$$x = v_{0x} t.$$
Substituïm:
$$x_{\text{màx}} = 13,86 \cdot 1,63 \approx 22,59 \, \text{m}.$$

Abast màxim: $\approx 22,59 \, \text{m}$.

3. Altura màxima

L’altura màxima es produeix quan la velocitat vertical és zero ($v_y = 0$). Usem:
$$v_y = v_{0y} – g t = 0 \implies 8 – 9,8 t = 0 \implies t = \frac{8}{9,8} \approx 0,816 \, \text{s}.$$
La posició vertical en aquest temps és:
$$y_{\text{màx}} = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 = 8 \cdot 0,816 – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (0,816)^2.$$
Calculem:
$$y_{\text{màx}} \approx 6,53 – 3,26 \approx 3,27 \, \text{m}.$$

Altura màxima: $\approx 3,27 \, \text{m}$.

4. Velocitat total 0,5 segons abans que arribi al terra

El moment d’arribar a terra és $t = 1,63 \, \text{s}$, per tant, $0,5$ s abans és:
$$t = 1,63 – 0,5 = 1,13 \, \text{s}.$$

• Component horitzontal (constant):
  $$v_x = v_{0x} = 13,86 \, \text{m/s}.$$
• Component vertical:
  $$v_y = v_{0y} – g t = 8 – 9,8 \cdot 1,13 \approx 8 – 11,07 \approx -3,07 \, \text{m/s}.$$
• Velocitat total:
  $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(13,86)^2 + (-3,07)^2} \approx \sqrt{192,1 + 9,42} \approx \sqrt{201,52} \approx 14,20 \, \text{m/s}.$$

Velocitat total: $\approx 14,20 \, \text{m/s}$.

5. Equació de la trajectòria

L’equació de la trajectòria relaciona $y$ amb $x$:
$$x = v_{0x} t \implies t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{x}{13,86}.$$
Substituïm a l’equació vertical:
$$y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 = 8 \cdot \frac{x}{13,86} – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \left( \frac{x}{13,86} \right)^2.$$
Simplifiquem:
$$y = \frac{8}{13,86} x – \frac{4,9}{192,1} x^2 \approx 0,577 x – 0,0255 x^2.$$

Equació de la trajectòria: $y \approx 0,577 x – 0,0255 x^2$.

Resposta final:

• Temps de vol: $\approx 1,63 \, \text{s}$.
• Abast màxim: $\approx 22,59 \, \text{m}$.
• Altura màxima: $\approx 3,27 \, \text{m}$.
• Velocitat total 0,5 s abans d’arribar al terra: $\approx 14,20 \, \text{m/s}$.
• Equació de la trajectòria: $y \approx 0,577 x – 0,0255 x^2$.