LEMNISCATA
Matemàtiques
Categoria: Sèries numèriques
Categoria: Sèries numèriques
Estudi del radi de convergència i verificació d’una equació diferencial per a la funció de Bessel
Determineu el radi de convergència$J(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$ i proveu que és solució de l’equació$x^2 J”(x) + x J'(x) + x^2 J(x) = 0$. Fem $u_n = \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$ i apliquem el criteri del quocient:$$\lim_{n \to +\infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2(n+1)}}{\frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}} \right|
Read MoreAproximació de la Integral amb Sèries de Potències i Control d’Error
Useu una sèrie de potències per aproximar el valor de la integral\[I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} \, dx\]amb un error menor que \( 10^{-4} \). Usant que la sèrie de potències de \( \frac{\sin x}{x} \) convergeix per a tot \( x \in \mathbb{R} \):\[I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} \,
Read MoreConvergència i Estimació d’Error d’una Sèrie mitjançant el Criteri Integral
Mostrar que la sèrie\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n^2 + 1)^2}\]convergeix i estimar l’error comès a l’aproximar la seva suma \( S \) mitjançant la suma parcial \( S_5 \). En aquest cas,\[f(x) = \frac{x}{(x^2 + 1)^2},\]\[\int_{1}^{+\infty} \frac{x \, dx}{(x^2 + 1)^2} = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{x \, dx}{(x^2 + 1)^2} = \lim_{b
Read MoreConvergència de la Sèrie mitjançant el Criteri de la Integral
Investigar la convergència de la sèrie\[\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{(n-2) \ln^2 (n-2)}.\] Com que el terme general de la sèrie és\[a_n = \frac{1}{(n-2) \ln^2 (n-2)},\]en cala de funció \( f(x) \) prenem\[f(x) = \frac{1}{(x-2) \ln^2 (x-2)}, \quad \text{on} \quad x \geq 4.\]Aleshores,\[\int_{4}^{+\infty} \frac{dx}{(x-2) \ln^2 (x-2)} = \lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} \frac{dx}{(x-2) \ln^2 (x-2)}
Read MoreAnàlisi de la Convergència de la Sèrie de Potències
Trobar la regió de convergència de la sèrie de potències\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n x^n.\] 1) Per trobar el radi de convergència \( R \), és còmode aplicar la fórmula. Donat que \( c_n = (-1)^{n-1} n \) i \( c_{n+1} = (-1)^n (n+1) \), tenim\[R = \lim_{n \to \infty} \frac{|c_n|}{|c_{n+1}|} =
Read MoreEstudi de la Convergència de la Sèrie
Determinau la convergència de la sèrie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^n}.$$ En primer lloc, calculem el radi de convergència de la sèrie. El terme general és ( a_n = \frac{1}{3^n} ). Llavors, $$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{3^{n+1}}} \right| = 3.$$ Per tant, l’interval associat és $(-3, 3)$. Estudiem el caràcter de
Read MoreAnàlisi del Caràcter de la Sèrie
ESTUDIEU EL CARÀCTER DE LA SÈRIE $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n + \ln \sqrt{n}}$ Com que $\frac{1}{n + \ln \sqrt{n}} > 0$, podem utilitzar el criteri de comparació per pas al límit, comparant-la amb la sèrie harmònica $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ de la qual coneixem la divergència. Observem que $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n + \ln
Read MoreConvergència de la integral impròpia
(El criteri de Dirichlet) Seguint \(f, g: [a, +\infty) \to \mathbb{R}\). Es suposa que:i) \(f\) és contínua, i hi ha una constant \(M > 0\) tal que, per a tota \(b > a\),\[\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq M.\]ii) \(g\) és derivable, i decreixent amb \(\lim_{x \to +\infty} g(x)
Read MoreEstudi de la convergència de sèries numèriques
Estudia la convergència de les sèries numèriques següents: a) \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\log(n))^n}\) b) \(\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{3}{4} \right)^n\) Totes les sèries de l’enunciat són de termes positius, de manera que podem aplicar qualsevol dels criteris establerts per a elles, especialment els criteris de l’arrel i del quocient. (a) Si \(a_n =
Read MoreCaràcter de la successió
Determinar el caràcter de la successió \(a_n\) en funció del valor del paràmetre \(a\): \[a_n = \left( \frac{n + a}{n + 1} \right)^{2n + 2} \quad a \in \mathbb{R}\] Es procedeix al càlcul del límit a l’infinit:\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + a}{n + 1}
Read More- 1
- 2