LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Categoria: Sèries numèriques
Categoria: Sèries numèriques
Sèrie alternada amb factor exponencial: estudi de convergència
Estudiar la convergència de la sèrie $$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \, r^n}{n \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}$$ on $r > 0$ és un paràmetre. La sèrie convergeix per a $r \leq 1$, sent absolutament convergent per a $0 < r < 1$ i condicionalment convergent per a $r = 1$.
Read MoreEstudia el caràcter de la sèrie aplicant el criteri de comparació per pas al límit
Estudia el caràcter de la sèrie aplicant el criteri de comparació per pas al límit: \[\sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)\] Per determinar el caràcter de la sèrie \(\sum_{n=1}^{\infty} \log \left( \frac{2n}{2n + 1} \right)\), apliquem el criteri de comparació per pas al límit. Aquest criteri estableix que, si
Read MoreDetermina l’interval de convergència
Determina l’interval de convergència per \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)^2}\) Aplicant el criteri del cocient: \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| < 1\] \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+2)^2}}{\frac{x^n}{(n+1)^2}} \right| < 1\] \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1} \cdot (n+1)^2}{x^n \cdot (n+2)^2} \right| < 1\] \[\lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \frac{(n+1)^2}{(n+2)^2} \right|
Read MoreDetermina l’interval de convergència
Determina l’interval de convergència per \(\sum_{n=0}^{\infty} a x^n\) Aplicant el criteri del cocient per a que la sèrie sigui convergent: \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| < 1\] \[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a x^{n+1}}{x^n} \right| < 1\] \[\lim_{n \to \infty} |a x| < 1\] \[|a x| < 1\]
Read MoreDeterminar el caràcter de les sèries
Determina el caràcter de les següents sèries: a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{2n(2n+2)}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^3 + 1}$ a) Sèrie divergent Per determinar el caràcter de la sèrie, primer comprovem la condició necessària de convergència, que requereix que el límit del terme general tendeixi a zero: \[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to
Read MoreComprovar convergència d’una sèrie de termes positius
Donada la sèrie de termes positius, enunciar i comprovar la condició necessària de convergència i estudiar-ne el caràcter: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$$ La condició necessària de convergència diu que, donada la sèrie $S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$, si aquesta és convergent, llavors $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. Es tracta d’una
Read MoreDemostració que una sèrie és absolutament convergent
Demostrar que si $|a| < 1$, la sèrie és absolutament convergent: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n \log n}{n}$$ Una sèrie de termes qualsevol és absolutament convergent si la sèrie dels seus valors absoluts és convergent. Per tant, es analitza el caràcter de la sèrie: \[\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{a^n \log n}{n} \right| \quad \text{considerant} \quad
Read MoreEstudiar el caràcter de la sèrie
Estudiar el caràcter de la sèrie: $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{3n – 2}$$ Es tracta d’una sèrie alternada. Un criteri d’utilitat en aquests casos pot ser el criteri de Leibniz, per el qual, donada una sèrie alternada de la forma $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$, aquesta serà convergent si es donen dues condicions de
Read MoreEstudiar el caràcter de la sèrie en funció del valor del paràmetre
Estudiar el caràcter de la sèrie en funció del valor del paràmetre $a$; $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 1}{n^a}$$ En aquest cas, donat que es tracta d’una sèrie de termes positius, es podrà aplicar algun dels criteris per aquest tipus de sèries. Aplicant el criteri del cocient, es tindrà que: \[\lambda =
Read MoreEstudiar el caràcter de la sèrie
Estudiar el caràcter de la sèrie: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n + 1)!}$$ Com a primer pas, es comprova la condició necessària de convergència, per la qual una sèrie serà convergent només quan el límit de la successió que l’origina és zero (no sent cert en general el recíproc). En aquest cas, resulta
Read More