LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Mes: octubre de 2025
Mes: octubre de 2025
Discussió de sistemes d’equacions en funció d’un paràmetre
Considera el sistema d’equacions següent, on $k$ és un paràmetre real: $$\begin{cases}x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + kz = 2 \\ 3x + ky + (k+1)z = 3\end{cases}$$ a) Forma matricial $AX=B$ $$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\2 & 3 & k\\ 3 & k
Read MoreSistemes d’equacions i els fons d’inversió
Una persona va invertir $54\,000\ \text{euros}$ en tres fons d’inversió: FIM, FIM Garantit i FIAM, i va obtenir $3\,600\ \text{€}$ d’interessos. Els interessos que van proporcionar els fons foren del $10\%$, $6\%$ i $4\%$ respectivament. Sabent que va invertir en el FIM el doble que en el FIAM, calcula quina
Read MoreDeterminació de la composició d’una barreja de butà i propà a partir de la combustió
El gas butà comercial que es ven en bombones en realitat és una barreja de dos hidrocarburs: el butà $\text{C4H10}$ i el propà $\text{C3H8}$. La combustió d’aquests gasos són les reaccions químiques \begin{align*}\text{C$_4$H$_{10}$ + $\dfrac{13}{2}$ O$_2$} &\rightarrow \text{4 CO$_2$ + 5 H$_2$O} \\ \text{C$_3$H$_8$ + 5 O$_2$} &\rightarrow \text{3 CO$_2$
Read MoreCàlcul de la derivada de la funció inversa en un punt
Es considera la funció $y = f(x)$ definida implícitament per l’equació $$2 e^{a x y} + y^2 e^{2 a x y} – 3 = 0, \quad \text{amb } a \neq 0.$$ Sigui $g(y)$ la funció inversa de $f(x)$, és a dir, $g(f(x)) = x$. Es demana calcular la derivada $g'(1)$.
Read MoreCàlcul del límit
Es demana el valor del límit: $$\lim_{x \to 0} \frac{\exp(\sin^2(x)) – 1 – x^2}{x^4}.$$ Pas 1: Desenvolupament de (\sin(x)) $$\sin(x) = x – \frac{x^3}{6} + O(x^5).$$ Pas 2: $\sin^2(x)$ $$\sin^2(x) = \left(x – \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{x^3}{6} + O(x^4) = x^2 – \frac{x^4}{3}
Read MoreProva del límit (\lim_{x \to 0} f(x) = 0) mitjançant la definició ((\epsilon, \delta))
Considerem la funció definida a trossos: $$f(x) = \begin{cases}2x & \text{si } x < 0, \\ 3x & \text{si } x \geq 0. \end{cases}$$ Hem de provar, usant la definició ($\epsilon, \delta$), que: $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0.$$ És a dir, per a tot $\epsilon > 0$, existeix $\delta
Read MoreCàlcul del límit amb valor absolut
Es demana el valor del límit: $$\lim_{x \to 0} \frac{|x + 2| – |2x – 2|}{2x}.$$ El valor absolut canvia de comportament segons el signe de l’expressió interior. Cal analitzar els límits laterals per separat, ja que les expressions dins dels valors absoluts canvien de signe prop de (x =
Read MoreDomini de la funció logarítmica
Trobeu el domini de la funció: $$f(x) = \log!\left( \frac{x-1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 15}} \right).$$ La funció és una composició d’una arrel quadrada, una fracció i un logaritme. Perquè $f(x)$ estigui definida, cal complir totes les condicions següents: 1. Denominador no nul (arrel definida i no zero) $$\sqrt{-x^2 + 2x
Read MoreCàlcul del límit de tercer ordre per a la funció (f(x) = x^3 – 3x^2 + 5x – 2)
Sigui $f(x) = x^3 – 3x^2 + 5x – 2$. Es demana el valor del límit: $$\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) – f(2) – f'(2)h – \frac{f”(2)}{2} h^2}{h^3}.$$ Pas 1: Càlcul de les derivades $$f'(x) = 3x^2 – 6x + 5,$$$$f”(x) = 6x – 6,$$$$f”'(x) = 6.$$ Pas 2:
Read MoreDerivada implícita i càlcul de (g'(0))
Considerem la funció $y = y(x)$ definida de manera implícita per l’equació: $$x + y^3 = \tan(xy) + \ln(1 + x^2) + 8.$$ Quan (y(x) > 0), definim la funció $$g(x) = e^{-3 \sqrt{y(x)}}.$$ Es demana el valor de $g'(0)$. Pas 1: Valor de $y(0)$ Substituïm $x = 0$ a
Read More