Problema de moviment circular

Un vehicle parteix del repòs en una via circular de radi $R = 400 \, \text{m}$. Comença a moure’s amb moviment uniformement accelerat fins que en $t = 50 \, \text{s}$ assoleix una velocitat de $v = 72 \, \text{km/h}$. A partir d’aleshores, es mou amb velocitat constant. Cal determinar: a) L’acceleració angular en cadascun dels moviments. b) L’acceleració normal en cadascun dels moviments. c) L’acceleració total en cadascun dels moviments. d) La velocitat angular en $t = 50 \, \text{s}$. e) La distància recorreguda en els primers $80 \, \text{s}$.

Dades inicials:

• Radi: $R = 400 \, \text{m}$.

• Velocitat a $t = 50 \, \text{s}$: $v = 72 \, \text{km/h} = 20 \, \text{m/s}$.

• Temps inicial: $t_0 = 0 \, \text{s}$, velocitat inicial: $v_0 = 0 \, \text{m/s}$.

• De $0$ a $50 \, \text{s}$: moviment uniformement accelerat.

• Després de $50 \, \text{s}$: moviment uniforme.

a) Acceleració angular en cadascun dels moviments. L’acceleració angular es calcula com $\alpha = \frac{a_t}{R}$, on $a_t$ és l’acceleració tangencial.

Moviment uniformement accelerat ($0 \leq t \leq 50 \, \text{s}$): \[ a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{20 – 0}{50} = 0.4 \, \text{m/s}^2 \] \[ \alpha = \frac{a_t}{R} = \frac{0.4}{400} = 0.001 \, \text{rad/s}^2 \]

$\textbf{Moviment uniforme ($t > 50 \, \text{s}$):}$ Com que $a_t = 0$, llavors: \[ \alpha = \frac{0}{R} = 0 \, \text{rad/s}^2 \]

Resposta:

• Moviment uniformement accelerat: $\alpha = 0.001 \, \text{rad/s}^2$

• Moviment uniforme: $\alpha = 0 \, \text{rad/s}^2$

b) Acceleració normal en cadascun dels moviments. L’acceleració normal es calcula com $a_n = \frac{v^2}{R}$.

• $\textbf{Moviment uniformement accelerat ($0 \leq t \leq 50 \, \text{s}$):}$ La velocitat és $v(t) = a_t \cdot t = 0.4 \cdot t$. Per tant: \[ a_n(t) = \frac{v(t)^2}{R} = \frac{(0.4 \cdot t)^2}{400} = \frac{0.16 \cdot t^2}{400} = 0.0004 \cdot t^2 \, \text{m/s}^2 \] A $t = 50 \, \text{s}$: \[ a_n(50) = 0.0004 \cdot 50^2 = 0.0004 \cdot 2500 = 1 \, \text{m/s}^2 \]

• $\textbf{Moviment uniforme ($t > 50 \, \text{s}$):}$ La velocitat és constant ($v = 20 \, \text{m/s}$): \[ a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{20^2}{400} = \frac{400}{400} = 1 \, \text{m/s}^2 \]

$\textbf{Resposta:}$

• Moviment uniformement accelerat: $a_n(t) = 0.0004 \cdot t^2 \, \text{m/s}^2$

• Moviment uniforme: $a_n = 1 \, \text{m/s}^2$

c) Acceleració total en cadascun dels moviments. L’acceleració total és $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$.

• $\textbf{Moviment uniformement accelerat ($0 \leq t \leq 50 \, \text{s}$):}$ \[ a(t) = \sqrt{(0.4)^2 + (0.0004 \cdot t^2)^2} = \sqrt{0.16 + 0.00000016 \cdot t^4} \, \text{m/s}^2 \] A $t = 50 \, \text{s}$: \[ a(50) = \sqrt{0.16 + 0.0004^2 \cdot 50^4} = \sqrt{0.16 + 1} = \sqrt{1.16} \approx 1.077 \, \text{m/s}^2 \]

• $\textbf{Moviment uniforme ($t > 50 \, \text{s}$):}$ \[ a = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \, \text{m/s}^2 \]

$\textbf{Resposta:}$

• Moviment uniformement accelerat: $a(t) = \sqrt{0.16 + 0.00000016 \cdot t^4} \, \text{m/s}^2$

• Moviment uniforme: $a = 1 \, \text{m/s}^2$

d) Velocitat angular a $t = 50 \, \text{s}$. La velocitat angular és $\omega = \frac{v}{R}$. A $t = 50 \, \text{s}$, $v = 20 \, \text{m/s}$:\[\omega = \frac{20}{400} = 0.05 \, \text{rad/s}\]

${Resposta:}$ $\omega = 0.05 \, \text{rad/s}$

e) Distància recorreguda en els primers $80 \, \text{s}$. Dividim el càlcul en dues parts:

• $\textbf{De $0$ a $50 \, \text{s}$ (moviment uniformement accelerat):}$ \[ s_1 = \frac{1}{2} a_t t^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot 50^2 = 0.2 \cdot 2500 = 500 \, \text{m} \]

• $\textbf{De $50$ a $80 \, \text{s}$ (moviment uniforme):}$ Temps: $\Delta t = 80 – 50 = 30 \, \text{s}$. Distància: \[ s_2 = v \cdot \Delta t = 20 \cdot 30 = 600 \, \text{m} \]

Distància total:\[s_{\text{total}} = s_1 + s_2 = 500 + 600 = 1100 \, \text{m}\]

$\textbf{Resposta:}$ $s_{\text{total}} = 1100 \, \text{m}$