LEMNISCATA
Matemàtiques
Mes: febrer de 2024
Mes: febrer de 2024
Química selectivitat Catalunya
A continuació teniu els exàmens de les proves PAU a Catalunya del 2000 al 2023 de Química. Examen de Selectivitat juny 1999-2000 Enunciat Solució Examen de Selectivitat setembre 1999-2000 Enunciat Solució Examen de Selectivitat juny 2000-2001 Enunciat Solució Examen de Selectivitat setembre 2000-2001 Enunciat Solució Examen de Selectivitat juny 2001-2002 Enunciat Solució Examen de Selectivitat
Read MoreProblema sistemes d’equacions. Càlcul angles d’un triangle
Calcula, en graus, els tres angles d’un triangle sabent que el menor és la meitat de l’angle més gran i que la suma de l’angle més petit i l’angle més gran és el doble de l’altre angle. Siguin $A\leq B\leq C$ els tres angles del triangle. Sabem que els tres angles d’un triangle sempre sumen
Read MoreVectors. Producte escalar i vectorial
Considera els punts A(0,0,1) , B(1,0,-1) , C(0,1,-2) i D(1,2,0) Calcula el mòdul dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ $$\vec{AB} = (1,0,-2)$$$$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$$$$\vec{AC} = (0,1,-3)$$$$|\vec{AC}| = \sqrt{0^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$$ Els vectors $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$ són linealment independents? $$\vec{AB} = (1,0,-2) , \vec{AC} = (0,1,-3) , \vec{AD} = (1,2,-1)$$$$\left| \begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\0 &
Read MoreProblema sobre recta i pla. Posició relativa, problema mètric
Considereu la recta $r$ i el pla $\pi$ donats per les equacions següents: $r:~\dfrac{x+1}2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-1}0\qquad\pi:~x-2y-z=4$$ [a)] Estudieu la posició relativa de la recta i el pla.[b)] En cas que la recta talli al pla, calculeu el punt de tall i l’angle que formen. En cas contrari, calculeu la distància entre la recta i el pla.[c)] Determineu
Read MoreProblema sobre matrices
Considere las matrices $$A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}$$[a)] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.[b)] Resuelva la ecuación matricial $AXB=A^t-3B$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.[a)] Una matriz es regular si su determinante es distinto de $0$: $|A|=\begin{vmatrix}2&3\\-1&-2\end{vmatrix}=-4+3=-1\ \qquad |B|=\begin{vmatrix}-1&-3\\1&2\end{vmatrix}=-2+3=1$ Luego ambas matrices son regulares.La matriz inversa
Read MoreProblema 1 examen de matemàtiques II
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\ x+a^2y-z&=3-a\\ x-y+az&=1\end{array}\right.$$ Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema: $$M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&a^2&-1&3-a\\1&-1&a&1\end{pmatrix}$$ Calculamos eel rango de la matriz de coeficientes: $$\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{vmatrix}=a^3-1+1+a^2-a-1=a^3+a^2-a-1=$$ $$=(a-1)(a^2+2a+1)=(a-1)(a+1)^2 $$ Determinante que se anula para $a=1$ y $a=-1$. [$\boldsymbol{*}$]
Read More