Problema sobre les mitjanes d’un triangle

S’anomena mitjana d’un triangle cadascuna de les rectes que passen per un vèrtex del triangle i pel punt mitjà del costat oposat a aquest vèrtex.
[a)] Calculeu les equacions de les tres mitjanes del triangle de vèrtexs $A = (−1, 2, 3)$, $B = (3, −4, 1)$ i $C = (1, − 4, 5)$.
[b)] Comproveu que les tres mitjanes es tallen en un punt i calculeu les coordenades d’aquest punt.

[a)] Comencem calculant els punts mitjans dels segments:

$$P_{\overline{AB}}=\dfrac{(-1,2,3)+(3,-4,1)}2=(1,-1,2)$$ $$Q_{\overline{ BC}}=\dfrac{(3,-4,1)+(1,-4,5)}2=(2,-4,3)$$ $$R_{\overline{AC}}=\dfrac {(-1,2,3)+(1,-4,5)}2=(0,-1,4)$$

Calculem els vectors directors de les mitjanes:

$$\vec v_r=\overrightarrow{AQ}=(2,-4,3)-(-1,2,3)=(3,-6,0)$$ $$\vec v_s=\overrightarrow{BR} =(0,-1,4)-(3,-4,1)=(-3,3,3)$$ $$\vec v_t=\overrightarrow{PC}=(1,-1,2)- (1,-4,5)=(0,3,-3)$$

Vectors que es poden simplificar resultant:

$$\vec v_r=(1,-2,0),~\vec v_s=(-1,1,1),~\vec v_t=(0,1,-1).$$

Tenim així les tres mitjanes:

$$r:~\dfrac{x+1}1=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}0$$ $$s:~\dfrac{x-3}{-1 }=\dfrac{y+4}1=\dfrac{z-1}1$$ $$t:~\dfrac{x-1}0=\dfrac{y+4}1=\dfrac{z-5 }{-1}$$

[b)] Escrivim $r$ en paramètriques:

$$r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\ y=2-2\lambda\\ z=3\end{array}\right.$$

Calculem el punt de tall de $r$ i $s$ substituint les paramètriques de $r$ a la contínua de $s$:

$$\dfrac{-1+\lambda-3}{-1}=\dfrac{2-2\lambda+4}1=\dfrac{3-1}1$$

La solució d’aquestes equacions és $\lambda=2$. Substituint a les paramètriques de r obtenim el baricentre $(1,-2,3)$.
Comprovem que aquest punt també passa per l’altra mitjana $t$:

$$\dfrac{1-1}0=\dfrac{-2+4}1=\dfrac{3-5}{-1}$$

Se satisfan totes les equacions després les tres mitjanes es tallen al baricentre.