Problema sobre les mitjanes d’un triangle

Problema sobre les mitjanes d’un triangle
14 de febrer de 2024 No hi ha comentaris Geometria, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

S’anomena mitjana d’un triangle cadascuna de les rectes que passen per un vèrtex del triangle i pel punt mitjà del costat oposat a aquest vèrtex.
[a)] Calculeu les equacions de les tres mitjanes del triangle de vèrtexs $A = (−1, 2, 3)$, $B = (3, −4, 1)$ i $C = (1, − 4, 5)$.
[b)] Comproveu que les tres mitjanes es tallen en un punt i calculeu les coordenades d’aquest punt.

[a)] Comencem calculant els punts mitjans dels segments:

$$P_{\overline{AB}}=\dfrac{(-1,2,3)+(3,-4,1)}2=(1,-1,2)$$ $$Q_{\overline{ BC}}=\dfrac{(3,-4,1)+(1,-4,5)}2=(2,-4,3)$$ $$R_{\overline{AC}}=\dfrac {(-1,2,3)+(1,-4,5)}2=(0,-1,4)$$

Calculem els vectors directors de les mitjanes:

$$\vec v_r=\overrightarrow{AQ}=(2,-4,3)-(-1,2,3)=(3,-6,0)$$ $$\vec v_s=\overrightarrow{BR} =(0,-1,4)-(3,-4,1)=(-3,3,3)$$ $$\vec v_t=\overrightarrow{PC}=(1,-1,2)- (1,-4,5)=(0,3,-3)$$

Vectors que es poden simplificar resultant:

$$\vec v_r=(1,-2,0),~\vec v_s=(-1,1,1),~\vec v_t=(0,1,-1).$$

Tenim així les tres mitjanes:

$$r:~\dfrac{x+1}1=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}0$$ $$s:~\dfrac{x-3}{-1 }=\dfrac{y+4}1=\dfrac{z-1}1$$ $$t:~\dfrac{x-1}0=\dfrac{y+4}1=\dfrac{z-5 }{-1}$$


[b)] Escrivim $r$ en paramètriques:

$$r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+\lambda\\ y=2-2\lambda\\ z=3\end{array}\right.$$

Calculem el punt de tall de $r$ i $s$ substituint les paramètriques de $r$ a la contínua de $s$:

$$\dfrac{-1+\lambda-3}{-1}=\dfrac{2-2\lambda+4}1=\dfrac{3-1}1$$

La solució d’aquestes equacions és $\lambda=2$. Substituint a les paramètriques de r obtenim el baricentre $(1,-2,3)$.
Comprovem que aquest punt també passa per l’altra mitjana $t$:

$$\dfrac{1-1}0=\dfrac{-2+4}1=\dfrac{3-5}{-1}$$


Se satisfan totes les equacions després les tres mitjanes es tallen al baricentre.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *