Vectors. Producte escalar i vectorial

Considera els punts A(0,0,1) , B(1,0,-1) , C(0,1,-2) i D(1,2,0)

1. Calcula el mòdul dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$
2. Els vectors $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$ són linealment independents?
3. Calcula el producte escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
4. Troba l’àrea del triangle determinat pels punts $A$, $B$ i $C$

Calcula el mòdul dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$

$$\vec{AB} = (1,0,-2)$$
$$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$$
$$\vec{AC} = (0,1,-3)$$
$$|\vec{AC}| = \sqrt{0^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$$

Els vectors $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$ són linealment independents?

$$\vec{AB} = (1,0,-2) , \vec{AC} = (0,1,-3) , \vec{AD} = (1,2,-1)$$
$$\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & -3 \\
1 & 2 & -1\end{array} \right| = 9 \neq 0 \Longrightarrow$$ són linealment independents

Calcula el producte escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} =1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-2) \cdot (-3) =6$$

Troba l’àrea del triangle determinat pels punts $A$, $B$ i $C$

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \left| \begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & -3
\end{array} \right| = 2 \vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}$$
$$Àrea = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}|=
= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2^2+3^2+1^2}= \frac{\sqrt{14}}{2} \: u^2$$