Problema sobre distribució normal i interval de confiança

Tiram una moneda a l’aire 100 vegades, i ha sortit 46 vegades cara i 54 vegades creu. Un estudiant creu que la moneda no esta trucada i proposa aproximar el nombre de cares que surten en 100 tirades com una variable aleatòria amb distribució normal $N$ ($\mu = 50$, $\sigma = 5$).

a) Segons la distribució proposada, quina hauria estat la probabilitat d’obtenir 60 cares o més?

Amb $X ∼ N (50, 5)$, i considerant una variable $Z ∼ N (0, 1)$,

$$P(X \geq 60) = P (\frac{X − 50}{5}) = \frac{60 − 50}{5} = P(Z\geq 2) = 1 − \varphi(2) = 1 − 0.9772 = 0.0228$$

i, per tant, la probabilitat demanada és del $0.0228$ o del $2.28\%$.

b) Calcula l’interval de confiança que contingui el 90% dels valors més probables que apareixen a la distribució proposada. Es raonable la hipòtesi que la moneda no esta trucada?

Per a un nivell de confiança del $90\%$, el nivell de significació és $\alpha = 0.10$, i l’interval demanat el
podem calcular com a:

$$(\mu-z_{\alpha/2}\cdot\sigma, \mu+z_{\alpha/2}\cdot\sigma) = (50 − 1.645\cdot5, 50 + 1.645\cdot5) = (41.775, 58.225)$$

El valor 46 entra dins de l’interval de confiança i, per tant, sembla raonable la hipòtesi que la moneda no esta trucada (amb el nivell de confiança demanat)

Ara, tirarem una altra moneda a l’aire $100$ vegades, i el nombre de cares que obtendrem també seguirà una distribució normal $N (\mu = 50, \sigma = 5)$. Sospitarem que la moneda esta trucada si el nombre de cares no està contingut a l’interval calculat a l’apartat anterior.

Quina és la probabilitat que sospitem que la moneda està trucada

L’apartat anterior contenia el $90\%$ de valors més probables, així que la probabilitat de que
aquesta nova observació no estigui continguda en el mateix és del $10\%$