Problema sobre distribució normal i interval de confiança

Tiram una moneda a l’aire $100$ vegades, i ha sortit $46$ vegades cara i $54$ vegades creu. Un estudiant creu que la moneda no esta trucada i proposa aproximar el nombre de cares que surten en $100$ tirades com una variable aleatòria amb distribució normal $N$ ($\mu = 50$, $\sigma = 5$).

a) Segons la distribució proposada, quina hauria estat la probabilitat d’obtenir $60$ cares o més?

Amb $X ∼ N (50, 5)$, i considerant una variable $Z ∼ N (0, 1)$,

$$P(X \geq 60) = P \left(\frac{X − 50}{5}\right) = \frac{60 − 50}{5} = P(Z\geq 2) = 1 − \varphi(2) = 1 − 0.9772 = 0.0228$$

i, per tant, la probabilitat demanada és del $0.0228$ o del $2.28\%$.

b) Calcula l’interval de confiança que contingui el $90\%$ dels valors més probables que apareixen a la distribució proposada. Es raonable la hipòtesi que la moneda no esta trucada?

Per a un nivell de confiança del $90\%$, el nivell de significació és $\alpha = 0.10$, i l’interval demanat el
podem calcular com a:

$$(\mu-z_{\alpha/2}\cdot\sigma, \mu+z_{\alpha/2}\cdot\sigma) = (50 − 1.645\cdot5, 50 + 1.645\cdot5) = (41.775, 58.225)$$

El valor $46$ entra dins de l’interval de confiança i, per tant, sembla raonable la hipòtesi que la moneda no esta trucada (amb el nivell de confiança demanat)

Ara, tirarem una altra moneda a l’aire $100$ vegades, i el nombre de cares que obtendrem també seguirà una distribució normal $N (\mu = 50, \sigma = 5)$. Sospitarem que la moneda esta trucada si el nombre de cares no està contingut a l’interval calculat a l’apartat anterior.

Quina és la probabilitat que sospitem que la moneda està trucada

L’apartat anterior contenia el $90\%$ de valors més probables, així que la probabilitat de que
aquesta nova observació no estigui continguda en el mateix és del $10\%$