LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Categoria: General
Categoria: General
Polinomi característic i valors propis sobre el cos de dos elements
Àlgebra lineal. Cossos finits Polinomi característic i valors propis sobre el cos de dos elements Problema 2. Calculeu el polinomi característic i els valors propis de la matriu \begin{equation} A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)\in M_3(\mathbb{F}_2). \end{equation} Solució. Observem que
Read MoreCàlcul de la forma canònica de Jordan d’una matriu d’ordre 4
Àlgebra lineal. Forma canònica de Jordan Càlcul de la forma canònica de Jordan d’una matriu d’ordre 4 Exemple. Calculeu la forma canònica de Jordan de la matriu \begin{equation} A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 2 & 0\\
Read MoreDiagonalització amb valors propis repetits
Diagonalització amb valors propis repetits Considerem una aplicació lineal $\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ que té per matriu \begin{equation} A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). \end{equation} El polinomi característic és \begin{equation} p(\lambda)=\left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda & -2 & 2\\ 1 & -\lambda & 1\\ 0 &
Read MoreUn endomorfisme amb un únic bloc de Jordan de mida 3
Àlgebra lineal. Diagonalització i forma de Jordan Un endomorfisme amb un únic bloc de Jordan de mida 3 Problema Sigui $f$ l’endomorfisme de $\mathbb{R}^3$ que, respecte de la base canònica, té per matriu \begin{equation} A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right).
Read MoreIntegral amb funció cosinus
Anàlisi complexa · Teorema dels residus Integral amb funció cosinus Aplicació del lema de Jordan a la teoria quàntica de dispersió 1. Enunciat La integral \[ I=\int_0^{+\infty}\frac{\cos(ax)}{x^2+b^2}\,dx, \qquad a,b>0, \] apareix sovint en la teoria quàntica de dispersió. Calculeu-ne el valor mitjançant el mètode d’integració per residus. 2. Extensió de
Read MoreCàlcul d’una integral impròpia
Anàlisi complexa · Teorema dels residus Càlcul d’una integral impròpia Mètode dels residus i aplicacions a la física 1. Enunciat En la teoria de la corrent electrònica entre dos gasos electrònics bidimensionals apareix la integral \[ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{ \bigl[(x-\varepsilon_1)^2+a^2\bigr] \bigl[(x-\varepsilon_2)^2+a^2\bigr] }. \] On \(\varepsilon_1,\varepsilon_2\in\mathbb{R}\) i \(a>0\). Calculeu \(I\) mitjançant el
Read MoreCàlcul d’una integral impròpia mitjançant residus
Anàlisi complexa · Teorema dels residus Càlcul d’una integral impròpia mitjançant residus Integració sobre el pla complex i classificació dels pols. 1. Enunciat Calculeu la integral impròpia: \[ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{3x^2+2}{(x^2+4)(x^2+9)}\,dx. \] Utilitzeu el mètode dels residus, tancant el contorn d’integració amb una semicircumferència situada al semiplà superior del pla complex.
Read MorePotències de nombres complexos i fórmula de De Moivre
Matemàtiques · Nombres complexos Potències de nombres complexos i fórmula de De Moivre Forma cartesiana, forma polar i representació exponencial. 1. Enunciat Donat el nombre complex \[ z=1+i\sqrt{3}, \] calculeu \(z^5\). A continuació, expresseu la potenciació d’un nombre complex en forma trigonomètrica i deduïu la fórmula de De Moivre a
Read MoreCol·lisió d’un satèl·lit amb un fragment de brossa espacial
Física · Mecànica celeste Col·lisió d’un satèl·lit amb un fragment de brossa espacial Conservació del moment angular, energia mecànica i òrbites circulars. 1. Enunciat Un satèl·lit de massa \(m\) es mou en una òrbita circular de radi \(R\), amb una velocitat de mòdul \(v\), al voltant de la Terra. De
Read MoreEl moviment d’una partícula dins d’un túnel terrestre
Física · Mecànica clàssica El moviment d’una partícula dins d’un túnel terrestre Gravitació universal, moviment harmònic simple i conservació de l’energia. 1. Enunciat Considerem un túnel cilíndric excavat al llarg d’un diàmetre terrestre, que travessa la Terra d’un extrem a l’altre. Suposem que la densitat terrestre és constant i que
Read More