Problema probabilitat antivirus

Un ordinador personal te operatius dos programes antivirus $A1$ i $A2$ que actuen simultàniament i de forma independent. Davant la presència d’un virus, el programa $A1$ el detecta amb una probabilitat de $0.9$ i el programa $A2$ el detecta amb una probabilitat de $0.8$. Calculeu de forma raonada:

(a) La probabilitat que un virus qualsevol sigui detectat.
(b) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagi detectat l’antivirus $A1$?
(c) Si un virus ha estat detectat, quina és la probabilitat que l’hagin detectat els dos antivirus $A1$ i $A2$?
(d) Un software addicional altera el funcionament de l’antivirus $A2$ de manera que la probabilitat que detecti un virus ja no és de $0.8$. Quina és aquesta nova probabilitat si sabem que un virus és detectat per $A1$ i no per $A2$ amb probabilitat $0.27$?

(a) Per tal de no ser detectat cal que el virus escapi a la detecció dels dos antivirus a l’hora; això te una probabilitat de $(1−0.9)(1−0.8) = 0.02$ ja que els successos son independents. Per tant, la probabilitat de ser detectat és la contraria, $1 − 0.02 = 0.98$.

Alternativament, també podem calcular directament la probabilitat que almenys un dels dos antivirus detecti el virus. Si denotem per A1 el succés “l’antivirus A1 detecta el virus”, i el mateix per A2, tenim:

\[ P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) – P(A_1 \cap A_2) = 0.9 + 0.8 – 0.72 = 0.98 \]

fent servir la independència per calcular: \[ P(A_1 \cap A_2) = 0.9 \times 0.8 = 0.72 \]

(b) Ens demanen la probabilitat que el virus hagi estat detectat per l’antivirus $A1$, condicionada a haver estat detectat, és a dir $P(A1 | detectat)$. A partir de la definició de probabilitat condicionada, tenim:

$$P(A1 | detectat) = \frac{P(A1 \cap detectat)}{P(detectat)} = \frac{P(A1)}{P(detectat)} = \frac{0.9}{0.98} = 0.9184$$

(c) De manera anàloga a l’apart anterior, tenim:

$$P(A1\cap A2 | detectat) = \frac{P(A1 \cap A2 \cap detectat)}{P(detectat)} = \frac{P(A1\cap A2)}{P(detectat)} = \frac{0.72}{0.98} = 0.7347$$

(d) Sabem que la nova probabilitat de ser detectat per $A1$ i no per $A2$ és de $0.27$, és a dir, $0.9\cdot (1 − P(A2)) = 0.27$ Per tant, $P(A2) = 1 – \frac{0.27}{0.9} = 0.7$.