Asímptotes d’una funció

Definim una asímptota com una línia recta que pot ser horitzontal, vertical o obliqua a la qual s’aproxima una corba com a gràfica d’una determinada funció.

Aquestes asímptotes solen aparèixer al haver-hi punts on la funció no estigui definida.

Asímptota vertical

Direm que la recta $x=a$ (on $a$ és una constant) és una asímptota vertical si es compleix alguna d’aquestes dues condicions:

1. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=\pm\infty$
2. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\pm\infty$

Asímptota horitzontal

Si existeix el límit:

$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=a$$

on $a$ és un valor finit, aleshores direm que la recta $y = a$ és una asímptota horitzontal.

Asímptota obliqua

Si existeixen els següents límits i són finits:

• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=m$
• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)=b$

llavors direm que té una asímptota obliqua i la recta de la asímptota obliqua està donada per l’equació $y = mx +b$.

Les asímptotes obliqües només existeixen en funcions racionals (divisió de polinomis) on el polinomi dividend és d’un grau superior al del polinomi divisor.