optimització filferro

optimització filferro
13 d'abril de 2024 No hi ha comentaris Càlcul, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Un filferro de 10 metres de longitud es divideix en dos trossos. Amb un es forma un triangle equilàter i amb l’altre un quadrat. Troba la longitud d’aquests trossos perquè la suma de les àrees sigui mínima.

Partim el filferro en dos trossos, un de mida $x$, per al triangle, i l’altre de mida $10-x$, per al quadrat. Tots dos sumen $10$ metres.

$$\left.\begin{array}{l} \text{El costat del triàngle serà } \dfrac{x}{3} \ \text{La seva altura}h=\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2-\left(\frac{x}{6}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}x}{6} \ \text{ La seva \’area } \dfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{alçada}=\dfrac{\sqrt{3}x^2}{36}\ u^2 \end{array}\right.$$
El costat del quadrat serà $\dfrac{10-x}{4}$ i per tant la seva àrea $\dfrac{(10-x)^2}{16}\ u^2$

La funció suma de les dues àrees vindrà donada per $f(x)=\dfrac{\sqrt{3}x^2}{36}+\dfrac{(10-x)^2}{16}$

Derivem i igualem a zero per obtenir els possibles màxims i mínims:

$$f'(x)=\dfrac{\sqrt{3}x}{18}+\dfrac{x-10}{8}$$

$$\dfrac{\sqrt{3}x}{18}+\dfrac{x-10}{8}=0\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}\dfrac{(4\sqrt{3}+9 )x-90}{72}=0\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}(4\sqrt{3}+9)x-90=0\hspace{5pt}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\hspace{5pt}x=\dfrac{90}{4\sqrt{3}+9}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{20pt} \boxed{x=\dfrac{810-360\sqrt{ 3}}{33}\ m\approx5,6504\ m}$$

Fem servir la segona derivada per comprovar que realment és un mínim:

$f”(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{18}+\dfrac{1}{8}>0$ A continuació, és un mínim.

I l’altre tros és $\boxed{10-x=\dfrac{360\sqrt{3}-480}{33}\ m\approx4,3496\ m}$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *