Problema distribució normal selectivitat illes balears

En una població:
– les alçades dels homes segueixen una distribució normal de mitjana $1.76$ metres i desviació típica $0.12$ metres; i
– les alçades de les dones segueixen una distribució normal de mitjana $1.62$ metres i desviació típica $0.11$ metres.
Es demana:

a) Escollim un home a l’atzar. Quina és la probabilitat que la seva alçada sigui major o igual que 1.76 metres?

Si $X$ és la variable aleatòria “alçada d’una home”, aleshores $X ∼ N (1.76, 0.12)$ i, per tant,
$$P(X ≥ 1.76) = 0.5$$
per ser $1.76$ la mitjana de la població normal.

b) Escollim una dona a l’atzar. Quina ´es la probabilitat que la seva alçada sigui major o igual que $1.76$ metres?

Si $Y$ és la variable aleatòria “alçada d’una dona”, aleshores $Y ∼ N (1.62, 0.11)$ i, per tant,

$$P(Y ≥ 1.76) = (\frac{Y − 1.62}{0.11})\geqslant(\frac{1.76 − 1.62}{0.11}) = P(Z \geqslant 1.273) = 1 − P(Z\leqslant1.273) = 1 − 0.898 = 0.102$$

on $Z ∼ N (0, 1)$

c) Què és més probable, que un home tengui una alçada inferior a $1.76$ metres, o que una dona tengui una alçada inferior a $1.76$ metres?

Seguint amb la notació dels apartats anteriors, $$P(X < 1.76) = 1 − P(X \geqslant 1.76) = 1 − 0.500 = 0.500$$ $$P(Y < 1.76) = 1 − P(Y \geqslant 1.76) = 1 − 0.102 = 0.898$$ i, per tant, és més probable que una dona tengui una alçada inferior a $1.76$ metres, que no que un home tengui una alçada inferior a $1.76$ metres.