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Matemàtiques
Etiqueta: EVAU
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Problema 2 examen de matemàtiques CCSS 18 juny de 2020
Un concessionari de motos comercialitza dos models, un de $125$ cc i un altre de$50$ cc. Per cada moto de $12$5 cc que ven, guanya $1000$ euros i per cada moto de $50$ cc,guanya $600$ euros. D’altra banda, per tal de satisfer els objectius marcats pelfabricant, cal que el concessionari compleixi les condicions següents:a) Vendre
Read MoreProblema 5 examen de matemàtiques CCSS 18 de juny de 2020
Un comerciant pot comprar articles a $350$ euros la unitat. Si els ven a $750$ euros la unitat, en ven $30$. Sabem que la relació entre aquestes dues variables (el preu de venda i el nombre d’unitats venudes) és lineal i que, per cada descompte de $20$ euros en el preu de venda, incrementa les
Read MoreExamen EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN 2020
Dau lo siguient sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y+(m+1)z&=2\\ x+(m-1)y+2z&=1\\2x+my+z&=-1\end{array}\right.$$ Discuta lo sistema seguntes las valors de $m\in\mathbb R$. Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&0&1\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$: Calcule, si ye posible, $(A\cdot B^t)^{-1}$. Comprebe que, $C^3=I$, an $I$ ye la matriz identidat, y calcule $C^{16}$. Resuelta lo sistema matricial $$\left\{\begin{array}{rl}X-2Y&=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}\\2X+3Y&=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}\end{array}\right.$$ Se considera la dreita $r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\2x+y&=3\end{array}\right.$ Calcule la equación d’o plano que contiene
Read MoreProblema 1A. Exame EBAU. Convocatoria ordinaria
Un estudiante gastó 57 euros n’una papelería na compra d’un llibru, una calculadora y un estoxu. Sabemos que’l llibru cuesta’l doble que’l total de la calculadora y l’estoxu xuntos. a) ¿Ye posible determinar de forma única’l preciu del llibru? ¿Y el de la calculadora?b) Amás, si los precios del llibru, la calculadora y l’estoxu fueren,
Read MorePROBLEMA 1 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN 2020
Dau lo siguient sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y+(m+1)z&=2\\ x+(m-1)y+2z&=1\\2x+my+z&=-1\end{array}\right.$$Discuta lo sistema seguntes las valors de $m\in\mathbb R$. Discutimos lo sistema utilizando lo teorema de Rouché-Fröbenius. Escribimos las matrices de coeficients y enamplada: $$M=\begin{pmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{pmatrix}\qquad M^=\begin{pmatrix}1&1&m+1&2\\1&m-1&2&1\\2&m&1&-1\end{pmatrix}$$Calculamos lo rango d’a matriz $M$: $$\begin{align}\begin{vmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{vmatrix}=m-1+4+m(m+1)-2(m+1)(m-1)-1-2m=\\=m+2+m^2+m-2(m^2-1)-2m=2-m^2+2=4-m^2\end{align}$$Determinant que s’anula pa $m=\pm2$. Si $m\neq2\text{ y }m\neq-2$, alavez $rg(M)=3=rg(M)=n$ y lo sistema ye compatible determinau. Si
Read MorePROBLEMA 2 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN 2020
Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&0&1\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$: a) Calcule, si ye posible, $(A\cdot B^t)^{-1}$.b) Comprebe que, $C^3=I$, an $I$ ye la matriz identidat, y calcule $C^{16}$. a) En primer puesto calculamos $A\cdot B^t$: $$A\cdot B^t=\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1\\2&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&0\end{pmatrix}$$Clamamos $D$ a esta matriz y calculamos la suya inversa con a siguient formula: $$D^{-1}=\dfrac1{|D|}\cdot(\text{Adj}D)^t|D|=-4\qquad \text{Adj}D=\begin{pmatrix}0&-1\\-4&3\end{pmatrix}$$Dimpués: $$(A\cdot B^t)^{-1}=D^{-1}=\frac{1}{-4}\cdot\begin{pmatrix}0&-4\\-1&3\end{pmatrix}$$ b) Comprebamos que $C^3=I$: $$C^2=C\cdot C=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$$$$C^3=C^2\cdot
Read MorePROBLEMA 3 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Resuelta lo sistema matricial $$\left\{\begin{array}{rl}X-2Y&=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}\\2X+3Y&=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}\end{array}\right.$$ Sía $A=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}$ alavez lo sistema ye: $$\left\{\begin{array}{rl}X-2Y&=A\\2X+3Y&=B\end{array}\right.$$Multiplicamos per $2$ la primera equación: $$\left\{\begin{array}{rl}2X-4Y&=2A\\2X+3Y&=B\end{array}\right.$$Si a la equación segunda le restamos la primera obtenemos: $$7Y=B-2A$$ d’an $$Y=\dfrac17\cdot(B-2A)=\dfrac17\cdot\left[\begin{pmatrix}7&6&-1\\14&3&7\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}\right]~;\ Y=\dfrac17\cdot\begin{pmatrix}7&0&-7 \\4&7&7\end{pmatrix}~;\ \boxed{Y=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}}$$Dau que $X-2Y=A$, alavez: $$\begin{align}X=A+2Y=\begin{pmatrix}0&3&3\\0&-2&0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&1&1\end{pmatrix}~;\\ \boxed{X=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&0&2\end{pmatrix}}\end{align}$$
Read MorePROBLEMA 4 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Se considera la dreita $r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\2x+y&=3\end{array}\right.$a) Calcule la equación d’o plano que contiene a la dreita $r$ y que pasa per lo punto $(0,0,1)$.b) Se considera lo paralelepípedo definiu per los vectors $\vec u,~\vec v\text{ y }\vec u\times\vec v$. Sabendo que $\vec u\times\vec v=(-1,1,1)$, calcule lo volumen de dito paralelepípedo. a) La equación d’o fe de
Read MorePROBLEMA 5 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Calcule lo siguient limite: $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)$$ $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=1^{\infty}$$Clamamos $L$ a lo limite que nos piden. Aplicando logaritmos: $$\displaystyle\begin{align} \ln L=\ln\lim_{x\rightarrow0^+}\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\lim_{x\rightarrow0^+}\ln\big((1+x-\text{sen}(x))^{1/x^3}\big)=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{x^3}\cdot\ln(1+x-\text{sen}(x))=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}=\dfrac00\end{align}$$Resolvemos esta indeterminación aplicando la regla de L’Hôpital: $$\displaystyle\begin{align}\ln L=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(1+x-\text{sen}(x))}{x^3}\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac{1-\cos(x)}{1+x-\text{sen}(x)}}{3x^2}=\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1-\cos(x)}{3x^2+3x^3-3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\text{sen}(x)}{6x+9x^2-6x\text{sen}(x)-3x^2\cos(x)}=\dfrac00=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\cos(x)}{6+18x-6\text{sen}(x)-6x\cos(x)-6x\cos(x)+3x^2\text{sen}(x)}=\dfrac16\end{align}$$Dimpués, si $\ln L=\frac16$ alavez: $$\boxed{L=y^{1/6}}$$
Read MorePROBLEMA 6 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
Se considera la siguient función: $f(x)=\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}$. Estudeye la existencia de asíntotas verticals, horizontals y obliquas y las calcule quan existan. Prencipiamos calculando lo dominio de $f$: $$1-y^{-x}=0~;\ y^{-x}=1~;\ -x=\ln 1~;\ x=0$$Lo dominio de $f$ ye $\mathbb R\setminus{0}$.Calculamos si existe asíntota vertical en $x=0$ (utilizamos la regla de L’Hôpital pa resolver las indeterminacions $0/0$ y $\infty/\infty$):
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