Etiqueta: matemàtiques II

Etiqueta: matemàtiques II

Problema sistemes d’equacions. Càlcul angles d’un triangle
24 de febrer de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Calcula, en graus, els tres angles d’un triangle sabent que el menor és la meitat de l’angle més gran i que la suma de l’angle més petit i l’angle més gran és el doble de l’altre angle. Siguin $A\leq B\leq C$ els tres angles del triangle. Sabem que els tres angles d’un triangle sempre sumen

Read More
Vectors. Producte escalar i vectorial
14 de febrer de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considera els punts A(0,0,1) , B(1,0,-1) , C(0,1,-2) i D(1,2,0) Calcula el mòdul dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$ $$\vec{AB} = (1,0,-2)$$$$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$$$$\vec{AC} = (0,1,-3)$$$$|\vec{AC}| = \sqrt{0^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$$ Els vectors $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$ són linealment independents? $$\vec{AB} = (1,0,-2) , \vec{AC} = (0,1,-3) , \vec{AD} = (1,2,-1)$$$$\left| \begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\0 &

Read More
Problema sobre recta i pla. Posició relativa, problema mètric
14 de febrer de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considereu la recta $r$ i el pla $\pi$ donats per les equacions següents: $r:~\dfrac{x+1}2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-1}0\qquad\pi:~x-2y-z=4$$ [a)] Estudieu la posició relativa de la recta i el pla.[b)] En cas que la recta talli al pla, calculeu el punt de tall i l’angle que formen. En cas contrari, calculeu la distància entre la recta i el pla.[c)] Determineu

Read More
Problema sobre les mitjanes d’un triangle
14 de febrer de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

S’anomena mitjana d’un triangle cadascuna de les rectes que passen per un vèrtex del triangle i pel punt mitjà del costat oposat a aquest vèrtex.[a)] Calculeu les equacions de les tres mitjanes del triangle de vèrtexs $A = (−1, 2, 3)$, $B = (3, −4, 1)$ i $C = (1, − 4, 5)$.[b)] Comproveu que

Read More
Problema sobre matrices
14 de febrer de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considere las matrices $$A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}$$[a)] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.[b)] Resuelva la ecuación matricial $AXB=A^t-3B$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.[a)] Una matriz es regular si su determinante es distinto de $0$: $|A|=\begin{vmatrix}2&3\\-1&-2\end{vmatrix}=-4+3=-1\ \qquad |B|=\begin{vmatrix}-1&-3\\1&2\end{vmatrix}=-2+3=1$ Luego ambas matrices son regulares.La matriz inversa

Read More
Problema 1 examen de matemàtiques II
13 de febrer de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\ x+a^2y-z&=3-a\\ x-y+az&=1\end{array}\right.$$ Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema: $$M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&a^2&-1&3-a\\1&-1&a&1\end{pmatrix}$$ Calculamos eel rango de la matriz de coeficientes: $$\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{vmatrix}=a^3-1+1+a^2-a-1=a^3+a^2-a-1=$$ $$=(a-1)(a^2+2a+1)=(a-1)(a+1)^2 $$ Determinante que se anula para $a=1$ y $a=-1$. [$\boldsymbol{*}$]

Read More
2022 – Juny – Bloc B – Exercici 5
14 de gener de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considera el sistema: $$\left\{\begin{array}{rcrcrcr} x & – & y & + & mz & = & -3 \\ -mx & + & 3y & – & z & = & 1 \\ x & – & 4y & + & mz & = & -6 \end{array}\right.$$ Discuteix el sistema segons els valors de $m$. Sigueu

Read More
2013 – Juny – Opció A – Exercici 3
14 de gener de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Sigueu $$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{array}\right)$$ Determina els valors de $m$ per als quals els vectors fila de $M$ són linealment independents. Perquè els vectors siguin linealment independents només cal fer que el determinant sigui diferent de zero. $$|M|=\left|\begin{array}{ccc} 1 &

Read More
2014 – Juny – Opció B – Exercici 3
14 de gener de 2024 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considereu les matrius $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\qquad i\qquad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Determina, si existeix, la matriu $X$ que verifica $AX+B=A^2$. Com volem que $AX+B=A^2\Rightarrow AX=A^2-B\Rightarrow

Read More
Problema continuïtat
18 de desembre de 2023 General Oscar Alex Fernandez Mora

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot R $$f(x) = \left\{\begin{array}{rcr}1+\cos x & \text{ si }& x \leq 0 \\ 2(a-x) & \text{ si } & 0 < x < 1 \\ \frac{b}{x^2} & \text{ si } & x \geq1\end{array}\right.$$ A $(-\infty,0)$ és contínua?$1 + \cos(x)$ és

Read More