LEMNISCATA
Matemàtiques
Sigui $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funció definida per $g(x) = -x^2 + 6x – 5$.a) Trobar l’equació de la recta normal a la gràfica de $g$ en el punt d’abscissa $x = 4$.b) Esbossar el recinte limitat per la gràfica de $g$ i la recta $x – 2y + 2 = 0$. Calcular l’àrea
Read MoreConsidereu les següents rectes: $$r: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1},\quad s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$$ a) Estudiar la posició relativa de les dues rectes.b) En cas que les rectes es tallin, calculeu el pla que les conté i l’angle que formen. Si les rectes es creuen, calculeu la perpendicular comuna a totes dues. a) Estudiarem la posició relativa utilitzant el mètode dels
Read MoreEs donen la matriu $A$: $$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & a \\ -2 & a+1 & 2 \\ -3 & a-1 & a\end{pmatrix}$$ que depèn del paràmetre $a$, sent $I$ la matriu identitat d’ordre $3$. Calculeu: a) El rang de la matriu $A$ en funció del paràmetre $a$. b) El determinant de la matriu
Read MoreSiguin les matrius $A = \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&-2&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix}3&4&-1\\ -1&-4&3\\ 0&-4&4\end{pmatrix}$a) Comproveu que satisfan la igualtat $A^2-\displaystyle\frac{1}{2}A\cdot B=I$ en què $I$ és la matriu identitat d’ordre $3$.b) Fent servir la igualtat anterior, trobeu la matriu inversa de $A$: $A^{-1}$. 1. Comproveu que $A^2 – \frac{1}{2} A \cdot B = I$. Les matrius
Read MoreDiscutiu per a quins valors d’$a$ el sistema és compatible: $$\begin{cases}(a + 2)x + (a – 1)y – z = 1 \\ ax – y + z = -1 \\ 11x + ay – z = a\end{cases}$$ i resoleu-ho per a $a=0$ Per analitzar quan el sistema d’equacions següent és compatible, hem d’examinar les condicions
Read MoreEs considera el següent sistema d’equacions lineals dependent del paràmetre real $a$: $$\begin{cases}x – y + z = -1 \\ ax + (-a + 2)y = 2 \\ 2x – (a + 3)y + (a + 2)z = -5 \end{cases}$$ a) Discuteix el sistema en funció dels valors del paràmetre $a$. b) Resol el sistema
Read MoreEn un hotel es van allotjar ahir 25 hostes procedents de tres països: Itàlia, Portugal i el Japó. La seva despesa total a l’hotel va ser de 3610 euros, corresponent 140 euros a cada hoste italià, 130 euros a cada portuguès i 160 euros a cada japonès. El registre de l’hotel mostra que el nombre
Read MorePer la Festa Major, la pastisseria del poble elabora unes capses de bombons especials. La capsa petita conté 10 bombons, la mitjana en té 15 i la gran en té 25. Cada capsa va decorada amb un llaç commemoratiu. En total, han utilitzat 210 llaços i 2.650 bombons. Tenint en compte que han elaborat el
Read MoreUna màquina produeix claus de longitud mitjana 80 mm amb una desviació típica de 3 mm. a) Quina és la probabilitat que la longitud mitjana d’una mostra de 100 claus sigui superior a 81 mm? b) Si es prenen 50 caixes de 100 claus, en quantes cal esperar que la longitud mitjana estigui compresa entre
Read MoreEn un grup de primer de batxillerat han aprovat Matemàtiques el $70 \%$ dels estudiants; Llengua, el $65 \%$, i totes dues assignatures, el $60 \%$. Es tria un estudiant a l’atzar: a) Quina és la probabilitat que hagi aprovat Matemàtiques o Llengua? b) Quina és la probabilitat que no hagi aprovat cap de les
Read More