Problema sobre recta i pla. Posició relativa, problema mètric

Considereu la recta $r$ i el pla $\pi$ donats per les equacions següents:

$r:~\dfrac{x+1}2=\dfrac{y-2}1=\dfrac{z-1}0\qquad\pi:~x-2y-z=4$$

[a)] Estudieu la posició relativa de la recta i el pla.
[b)] En cas que la recta talli al pla, calculeu el punt de tall i l’angle que formen. En cas contrari, calculeu la distància entre la recta i el pla.
[c)] Determineu el pla que conté la recta r i és perpendicular al pla $\pi$.

[a)] Comencem escrivint la recta en paramètriques:

$$r:~\left\{\begin{array}{l}x=-1+2\lambda\\ y=2+\lambda\\ z=1\end{array}\right.$$

Substituïm les paramètriques de la recta a la implícita del pla i resolem:

$(-1+2\lambda)-2(2+\lambda)-(1)=4~;\\0\lambda=10~;\\0=10~!!!$

Atès que l’equació no té solució, recta i pla no es tallen en cap punt de manera que recta i pla són paral·lels.
[b)] La distància entre la recta i el pla és igual a la distància d’un punt qualsevol de la recta al pla, per exemple, el punt de la recta $P_r=(-1,2,1)$:

$$d(r,\pi)=d(P_r,\pi)=\dfrac{|-1-2\cdot2-1-4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1 )^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{6}}=\boxed{\dfrac{5\sqrt6}3\text{ u.l.}}$$

[c)] El pla buscat es construeix amb un punt i el vector director de r, per contenir-la, i amb el vector normal de $\pi$ per ser-hi perpendicular. El pla cercat $\alpha$ és forma vectorial:

$$\alpha:~(x,y,z)=(-1,2,1)+\lambda(2,1,0)+\mu(1,-2,-1)$$

En forma implícita:

$$\begin{vmatrix}x+1&y-2&z-1\\2&1&0\\1&-2&-1\end{vmatrix}=(x+1)(-1)+(y-2)(2)+(z- 1)(-4-1)=$$ $$=-x-1+2y-4-5z+5~;\qquad \boxed{\alpha:~-x+2y-5z=0}$$