Problema sobre matrices

Considere las matrices

$$A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}$$

[a)] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o inversibles) y calcule sus matrices inversas.
[b)] Resuelva la ecuación matricial $AXB=A^t-3B$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

[a)] Una matriz es regular si su determinante es distinto de $0$:

$|A|=\begin{vmatrix}2&3\\-1&-2\end{vmatrix}=-4+3=-1\ \qquad |B|=\begin{vmatrix}-1&-3\\1&2\end{vmatrix}=-2+3=1$

Luego ambas matrices son regulares.
La matriz inversa la calculamos con la siguiente fórmula:

$$\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}$$

$\text{Adj}A=\begin{pmatrix}-2&1\\-3&2\end{pmatrix}\\\text{Adj}B=\begin{pmatrix}2&-1\\3&-1\end{pmatrix}$
$$A^{-1}=\dfrac1{-1}\cdot\begin{pmatrix}-2&-3\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}=A$$
$$B^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}2&3\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-1\end{pmatrix}$$

[b)]Primero despejamos la matriz $X$:

$AXB=A^t-3B~;\\XB=A^{-1}(A^t-3B)~;\\X=A^{-1}(A^t-3B)B^{-1}=A(A^tB^{-1}-3I)~;\\X=AA^tB^{-1}-3A$

Ahora calculamos:

$AA^t=\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&-8\-8&5\end{pmatrix}\\AA^tB^{-1}=\begin{pmatrix}13&-8\\-8&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}34&47\\-21&-29\end{pmatrix}\\X=\begin{pmatrix}34&47\\-21&-29\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}2&3\\-1&-2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}28&38\\-18&-23\end{pmatrix}}$