Problema 1 examen de matemàtiques II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\ x+a^2y-z&=3-a\\ x-y+az&=1\end{array}\right.$$

1. Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para $a = 0$.
2. Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
3. Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

$$M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&a^2&-1&3-a\\1&-1&a&1\end{pmatrix}$$

Calculamos eel rango de la matriz de coeficientes:

$$\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{vmatrix}=a^3-1+1+a^2-a-1=a^3+a^2-a-1=$$

$$=(a-1)(a^2+2a+1)=(a-1)(a+1)^2 $$

Determinante que se anula para $a=1$ y $a=-1$.

[$\boldsymbol{*}$] Si $a\neq1$ y $a\neq-1$ entonces $rg(M)=3=rg(M*)=n$, y el sistema es compatible determinado.

[$\boldsymbol{*}$] Si $a=1$, entonces $M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ cuyo rango es $2$ ya que $\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1\neq0$.Calculamos el rango de la matriz ampliada $$M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&1&-1&2\\1&-1&1&1\end{pmatrix};\ \begin{vmatrix}1&1&4\\1&1&2\\1&-1&1\end{vmatrix}=1+2-4-4-1+2=-4\neq0$$

de donde $rg(M*)=3$ y el sistema es incompatible.

[$\boldsymbol{*}$] Si $a=-1$, entonces $M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}$ cuyo rango es $2$ ya que $\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-1-1\neq0$.Calculamos el rango de la matriz ampliada \begin{equation} M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&1&-1&4\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}:\begin{vmatrix}1&1&4\\1&1&4\\1&-1&1\end{vmatrix}=0\end{equation}Luego, $rg(M*)=2$ y el sistema es compatible indeterminado.

[a)] Como hemos visto, el sistema tiene solución única si $a\neq1$ y $a\neq-1$.Resolvemos el sistema para $a=0$ utilizando la regla de Cramer: $$x=\dfrac{\begin{vmatrix}4&1&-1\\3&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-1+3-4}{-1}=2$$

$$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&4&-1\\1&3&-1\\1&1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{-4-1+3+1}{-1}=1$$

$$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&4\\1&0&3\\1&-1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}=\dfrac{3-4-1+3}{-1}=-1$$

[b)] Como hemos visto, el sistema tiene infinitas soluciones si $a=-1$. En este caso el sistema a resolver es:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x+y-z&=4\\x-y-z&=1\end{array}\right.$$

que es equivalente a:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\x-y-z&=1\end{array}\right.$$

Resolvemos el sistema parametrizando $z=\lambda$:

$$\left\{\begin{array}{rl}x+y&=4+\lambda\\x-y&=1+\lambda\end{array}\right.$$

de donde obtenemos la solución:

$$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{5+2\lambda}2\\y=\dfrac32\\z=\lambda\end{array}\right.$$

[c)] El sistema no tiene solución para $a=1$.