2022 – Juny – Bloc B – Exercici 5

Considera el sistema: $$\left\{\begin{array}{rcrcrcr} x & – & y & + & mz & = & -3 \\ -mx & + & 3y & – & z & = & 1 \\ x & – & 4y & + & mz & = & -6 \end{array}\right.$$

Discuteix el sistema segons els valors de $m$.

Sigueu $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & m \\ -m & 3 & -1 \\ 1 & -4 & m \end{array}\right)$ la matriu de coeficients i $A^+=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & m & -3\\ -m & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & m & -6 \end{array}\right)$ l’ampliada.

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & m \\ -m & 3 & -1 \\ 1 & -4 & m \end{array}\right|=3m+4m ^2+1-3m-4-m^2=3m^2-3$$

$$|A|=0 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} 3m^2-3=0 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} 3m^2=3 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace {5pt} m^2=1 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} m=\pm1$$

Si $\boxed{\mathbf{m\neq -1}}$ i $\boxed{\mathbf{m\neq 1}}\ : Ran(A)=3=Ran(A^+)$ i igual al nombre d’incògnites, després el sistema és compatible determinat, té una única solució per a cada $m\neq\pm1$.
Si $\boxed{\mathbf{m=-1}}\ : A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & -4 & -1\end{array}\right) \Rightarrow |A|=0$ i com $\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{array}\right|=4\neq0 \Rightarrow Ran(A)=2$
$$A^+=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & -1 & -6 \end{array}\right) \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & -6 \end{array}\right|=-18-1+12+9+4-6=0$$
$$\Rightarrow\hspace{5pt} Ran(A^+)=2=Ran(A)<\ \text{núm d’incógnites} \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}\ \text{el sistema és compatible indeterminat, té infinites solucions.}$$
Si $\boxed{\mathbf{m=1}}\ : A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -4 & 1 \end{array}\right) \Rightarrow |A|=0$ i com $\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array}\right|=2\neq0 \Rightarrow Ran(A)=2$
$$A^+=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & -3 \\- 1 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 1 & -6 \end {array}\right) \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & -6 \end{array}\right|=-18-1-12+9+4+6=-12\neq0$$
$$\Rightarrow\hspace{5pt} Ran(A^+)=3\neq Ran(A) \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}\ \text{ el sistema és incompatible, no té solució.}$$

Per $m=2$ resol el sistema, si és possible.

Per a $m=2$ el sistema és compatible determinat, es pot resoldre.

$$A^+=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -3 \\ -2 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & 2 & -6 \end{array}\right) \xrightarrow[f_3-f_1]{f_2+2\cdot f_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -5 \\ 0 & -3 & 0 & -3 \end{array}\right) \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \left\{\begin{array}{l} x-y+ 2z=-3 \\ y+3z=-5 \\ -3y=-3 \end{array}\right. \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}$$

$${\Large\boxed{y=1}} \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} 1+3z=-5 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} {\Large\boxed{z=- 2}} \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} x-1+2\cdot(-2)=-3 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} {\Large\boxed{x=2}}$$