2013 – Juny – Opció A – Exercici 3

Sigueu $$M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{array}\right)$$

Determina els valors de $m$ per als quals els vectors fila de $M$ són linealment independents.

Perquè els vectors siguin linealment independents només cal fer que el determinant sigui diferent de zero.

$$|M|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{array}\right|=(m +1)(m-1)+(m+1)=m^2+m$$

$$|M|=0\hspace{5pt}\Leftrightarrow\hspace{5pt}m^2+m=0\hspace{5pt}\Leftrightarrow\hspace{5pt}\left\{\begin{array}{l}m= 0 \\ m=-1\end{array}\right.$$

Després, per a $m\neq 0$ i $m\neq -1$ són linealment independents.

Estudia el rang de $M$ segons els valors de $m$.

$\bullet\ \mathbf{m\neq 0}\qquad i \qquad \mathbf{m\neq -1} sabem que Ran(M)=3$

$\bullet\ \mathbf{m=0}\Rightarrow M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right) Com \left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\neq 0\Rightarrow Ran(M)=2$

$\bullet\ \mathbf{m=-1}\Rightarrow M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$ Com $\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right|\neq 0\Rightarrow Ran(M)=2$

Per a $m=1$, calcula la inversa de $M$.

Per $m=1$ sabem que $M=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$ i $|M |=2\neq 0$

$$Adj(M)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right)\qquad i \qquad \left(Adj(M)\right)^t=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \end{array}\right)$$

$$M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\left(Adj(M)\right)^t\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{10pt} \boxed{M^{-1} =\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1/2 & 1 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ -1 & -1/2 & 1 \end{array}\right)}$$