LEMNISCATA
Matemàtiques
Resoleu el següent sistema d’equacions Per resoldre el sistema d’equacions mitjançant la regla de Cramer, hem de seguir aquests passos: Recordem el sistema d’equacions: \begin{equation}\left\{\begin{array}{rcl}3x + 2y + z &= 1 \\ 5x + 3y + 4z &= 2 \\ x + y – z &= 1\end{array}\right.\end{equation} 1. Matriu de coeficients i determinant La matriu
Read MoreConsidere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=4\\ x+a^2y-z&=3-a\\ x-y+az&=1\end{array}\right.$$ Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema: $$M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&4\\1&a^2&-1&3-a\\1&-1&a&1\end{pmatrix}$$ Calculamos eel rango de la matriz de coeficientes: $$\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&a^2&-1\\1&-1&a\end{vmatrix}=a^3-1+1+a^2-a-1=a^3+a^2-a-1=$$ $$=(a-1)(a^2+2a+1)=(a-1)(a+1)^2 $$ Determinante que se anula para $a=1$ y $a=-1$. [$\boldsymbol{*}$]
Read MoreResoleu el següent sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.$$ Escrivim el sistema d’equacions en forma de matriu: $$\left\{\begin{array}{ccc} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{array}\right.\sim\begin{pmatrix}3&2&1&1\\ 5&3&4&2\\ 1&1&-1&1\end{pmatrix}\sim$$ Ho resoldrem per Cramer, calcularem els $\Delta$, $\Delta_x$, $\Delta_y$ i $\Delta_z$ $\Delta= \begin{vmatrix}3&2&1\\ \:5&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-1$ $\Delta_x= \begin{vmatrix}1&2&1\\ \:2&3&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=4$ $\Delta_y= \begin{vmatrix}3&1&1\\ \:5&2&4\\ \:1&1&-1\end{vmatrix}=-6$ $\Delta_z= \begin{vmatrix}3&2&1\\ \:5&3&2\\ \:1&1&1\end{vmatrix}=-1$ Per tant, obtenim:
Read MoreDadas las matrices $$A = \left(\begin{array}{ccc}2-m & 1 & 2m-1\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{array}\right) , X = \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right) , B = \left(\begin{array}{c}2m^2-1\\ m\\ 1\end{array}\right)$$ considera el sistema de ecuaciones lineales dado por $X^tA=B^t$, donde $X^t$ , $B^t$ denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de $m$
Read MoreDetermina razonadamente los valores del parámetro $m$ para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución: $$\left.\begin{array}{ccc}2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array}\right\}$$Resuelve el sistema anterior para el caso $m = 0$ y para
Read MoreConsidera el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{array}{ccc}x+y+z & = & 0 \\ 2x+\lambda y+z & = & 2 \\ x+y+\lambda z & = & \lambda – 1\end{array}\right.$$ Determina el valor de $\lambda$ para que el sistema sea incompatible. Expresamos la matriz de los coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A*$) $$(A|A^*) = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 &
Read More1. Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro $m$$$\left.\begin{array}{ccc}2x+ my & = & 0 \\x + mz & = & m \\x + y+ 3z & = & 1\end{array}\right\}$$ Expresamos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada $$(A|A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & m & 0 & 0 \\1 & 0 & m & m
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