LEMNISCATA
Matemàtiques
Categoria: Àlgebra
Categoria: Àlgebra
Problema sobre equacions matricials
Consideri las matrius $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right);\qquad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Determina, si existeix, la matriu $X$ que verifica $AX+B=A^2$. Com volem que $AX+B=A^2\Rightarrow AX=A^2-B\Rightarrow X=A^{-1}\left(A^2-B\right)$
Read MoreProblema sobre rang de matrius
Consideri les matrius $$A=\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & m \end{array}\right)\ \text{ y } B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{array}\right)$$ Troba el valor, o els valors, de $m$ per als quals $A$ i $B$ tenen el mateix rang. $$|A|=\left|\begin{array}{cc} -1 &
Read MoreSistemes homegenis
Es considera el sistema d’equacions: $$\left\{\begin{array}{rl}x+y-(1-a^2)z&=0\\2x+4y+6z&=0\\2x+5y+z&=0\end{array}\right.$$ Calcula raonadament els valors del paràmetre a perquè el sistema tingui solucions diferents de la solució trivial $(0,0,0)$. Es tracta d’un sistema homogeni. Perquè aquest sistema tingui solucions diferents de la trivial, el sistema ha de ser compatible indeterminat.Discutim el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius. Escrivim el sistema
Read MoreEl teorema de Rouché-Fröbenius
Sigui un sistema de $m$ equacions lineals amb $n$ incògnites $$\left\{\begin{aligned}a_{11}x_1&+a_{12}x_2&+\cdots &+a_{1n}x_n&=b_1\\a_{21}x_1&+a_{22}x_2&+\cdots &+a_{2n}x_n&=b_2\\&\vdots&\ddots&&\vdots\\a_{m1}x_1&+a_{m2}x_2&+\cdots &+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\right.$$ que en forma matricial s’escriu de la forma $$\underbrace{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}}_{M}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}}_X=\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix}}_N$$$$M\cdot X=N$$ Anomenarem la matriu de coeficients a la matriu $M$. Anomenarem la matriu ampliada a la matriu $M^*$ que és la matriu
Read MoreProblema sobre aplicació lineal
Sigui $f:R^3\rightarrow R^3$ l’aplicació lineal definida per $$f(x,y,z) = (2x, 3y, x+y+z)$$ Trobeu la matriu de f en les bases canòniques. La matriu de $f$ en les bases canòniques és:$$\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&3&0\\ 1&1&1\end{pmatrix}$$ Calculeu el polinomi característic de $f$ i els valors propis de $f$. El polinomi característic de $f$ és:$$q(t) = (2-t)\cdot(3-t)\cdot(1-t)$$Els valors propis de
Read MoreProblema 1 examen de matemàtiques II 26 juny de 2020
Discuteix el sistema pels diferents valors de $\beta$ Com que la matriu del sistema és quadrada d’ordre $3$, els valors del paràmetre que fan que el sistema no sigui compatible determinat són aquells que anul·len el seu determinant.$$\begin{vmatrix}1&3&-\beta\\ \:\:2&\beta-5&1\\ \:\:4&\beta-1&-3\end{vmatrix}=0 \longrightarrow 2\beta^2-11\beta+18=0\longrightarrow\beta=2;\ \beta = 9$$ Els valors que fan que $rang M=3$ són, evidentment, $\beta
Read MoreBeethoven, Schubert i les matemàtiques
Quan l’any $1800$ Beethoven escriu la seva primera simfonia, la seva edat és deu vegades més gran que la del jovenet Franz Schubert. Passa el temps i és Schubert el que compon la seva cèlebre Simfonia incompleta. Llavors la suma de les edats de tots dos músics és igual a $77$ anys. cinc anys després
Read MoreCàlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan
Quina és la matriu inversa de la següent matriu? $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$
Read MoreProblema 6 examen de matemàtiques CCSS 28 de juny de 2020
Siguin les matrius: $$P =\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\ a & 0\end{array}\right),\ Q =\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 5\\ 8 & 4 & b\end{array}\right)\ \mathrm{i}\ R =\left(\begin{array}{ccc}c & d & 6\\ 10 & 10 & 50\end{array}\right)$$ $$P \cdot Q =\left(\begin{array}{ccc}17 & 9 & 2b+5\\ a & a & 5a\end{array}\right)$$ No és possible el producte $Q \cdot P$ Calculem
Read MoreProblema 4
Dada la matriz$$ A =\left(\begin{array}{cc}\lambda +1 & 0\\1 & -1\end{array}\right)$$ 1. Determina los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A^2+3A$ no sea invertible. Construimos la matriz $A^2+3A$: $$A^2+3A = \begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\1 & -1\end{pmatrix}^2+3\begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\1 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\lambda +1 & 0\\1 & -1\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}\lambda
Read More