LEMNISCATA
Matemàtiques
Categoria: Equacions diferencials
Categoria: Equacions diferencials
Equació de la corba que forma fil sota el seu propi pes
Un fil flexible i homogeni està suspès pels seus dos extrems. Trobar l’equació de la corba que forma aquest fil sota el seu propi pes (la forma que prenen les cordes, cables i cadenes suspeses). Sigui \( M_0(0, b) \) el punt més baix del fil, i \( M \),
Read MoreAnàlisi del Moviment de Caiguda amb Resistència de l’Aire: Una Aproximació amb Equacions Diferencials
Des d’una certa altura se ha deixat anar un cos de massa \( m \). Determinar la llei segons la qual canvia la velocitat de caiguda \( v \), si sobre el cos, a més de la força de la gravetat, actua la força de resistència de l’aire, proporcional a
Read MoreResolució d’equacions Diferencials Lineals
Trobar la solució de l’equació:\[\frac{dy}{dx} – \frac{2}{x+1} y = (x+1)^3.\] Fem:\[y = u v.\]Llavors:\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + \frac{du}{dx} v.\]Substituint l’expressió de \(\frac{dy}{dx}\) a l’equació inicial, tenim:\[u \frac{dv}{dx} + \frac{du}{dx} v – \frac{2}{x+1} u v = (x+1)^3,\]\[u \left( \frac{dv}{dx} – \frac{2}{x+1} v \right) + v \frac{du}{dx} = (x+1)^3.\]Per determinar \(v\),
Read MoreEcuacions amb variables separades i separables
S’ha establert que la velocitat de desintegració del radi és directament proporcional a la seva massa en cada instant donat. Determinar la llei de variació de la massa del radi en funció del temps, si per a \( t = 0 \) la massa del radi era \( m_0 \).
Read MoreEquacions amb variables separades i separables
Sigui l’equació$$(1+x) y \, dx + (1-y) x \, dy = 0.$$ Separant les variables, trobem:$$\frac{1+x}{x} \, dx + \frac{1-y}{y} \, dy = 0; \quad \left( \frac{1}{x} + 1 \right) dx + \left( \frac{1}{y} – 1 \right) dy = 0.$$Integrant, obtenim:$$\ln |x| + x + \ln |y| – y =
Read MoreCàlcul de la Concentració de Sal en un Dipòsit amb Flux Constant
Un dipòsit conté \( S_0 \) lliures de sal dissolta en 200 galons d’aigua. Començant en el temps \( t = 0 \), aigua que conté \( \frac{1}{2} \) lliures de sal per galó entra al dipòsit a un ritme de 4 galons per minut, i la solució ben barrejada
Read MoreSolució d’una Equació Diferencial Separable amb Condició Inicial
Troba la solució \( y(t) \) del problema de valor inicial \[\frac{dy}{dt} + (1 + y^2) \sin t = 0, \quad y(0) = 1\] Dividint ambdós costats de l’equació diferencial per \( 1 + y^2 \) dona\[\frac{y}{1 + y^2} \frac{dy}{dt} = -\sin t.\]Conseqüentment,\[\int_1^y \frac{r}{1 + r^2} dr = \int_0^t -\sin
Read MoreDerivació d’una Espiral Logarítmica a partir de la Longitud de l’Arc
Trobar la corba que tingui la propietat que la longitud de l’arc comprès entre dos punts $P$ i $Q$ de la corba, és proporcional a la diferència de les distàncies des d’aquests punts fins a un punt fixat $O$. Si es fixa el punt $P$, l’arc $QP$ variarà proporcionalment a
Read MoreCàlcul de la corba amb pendent donada i condició inicial
Trobar la corba que passa pel punt $(0, -2)$ i la tangent en tot punt té pendent igual a l’ordenada d’aquest punt augmentada en tres unitats. A partir de la interpretació geomètrica de la derivada primera, obtenim l’equació diferencial de la família de corbes que satisfan les condicions del problema:\[\frac{dy}{dx}
Read MoreResolució d’una equació diferencial exacta amb variables x i y
Resoleu l’equació diferencial: $$\left( x^2 + \frac{y}{x} \right) dx + (\ln x + 2y) dy = 0,$$ suposant que $x > 0$. Pas 1: Comprovar si l’equació és exacta Una equació diferencial de la forma $M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$ és exacta si $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial
Read More- 1
- 2