LEMNISCATA
Matemàtiques
En la part superior d’un pla inclinat es deixen caure un bloc i un cilindre de la mateixa massa. El bloc baixa sense fregament i el cilindre baixa sense lliscar, és a dir, baixa amb rodolament pur. Quin dels dos cossos arribarà abans a terra?:
Per resoldre aquest problema, cal tenir en compte les diferents forces i les dinàmiques implicades en el moviment d’un bloc que llisca sense fregament i un cilindre que roda sense lliscar. En essència, hem de comparar el temps que triga cada cos a arribar a la part inferior del pla inclinat.
Per un bloc que baixa sense fregament, només cal considerar l’energia potencial que es converteix en energia cinètica transaccional:
$$mgh = \frac{1}{2} mv^2$$
Aquí, $m$ és la massa del bloc, $g$ és l’acceleració deguda a la gravetat, $h$ és l’alçada del pla inclinat i $v$ és la velocitat del bloc a la base del pla.
Resolent per la velocitat:
$$v = \sqrt{2gh}$$
Per un cilindre que baixa amb rodolament pur, l’energia potencial es converteix en energia cinètica translaccional i rotacional. La seva energia total es pot expressar com:
$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$$
On $I$ és el moment d’inèrcia del cilindre i $\omega$ és la velocitat angular. Per un cilindre homogeni, el moment d’inèrcia és $I = \frac{1}{2}mr^2$, i com que roda sense lliscar, $v = r\omega$.
Substituint $I$ i $\omega$:
$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}mr^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2$$
Simplificant l’expressió:
$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2$$
$$mgh = \frac{3}{4} mv^2$$
Resolent per la velocitat $v$:
$$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$$
Les velocitats finals a la base del pla inclinat són:
Comparant les dues velocitats: