Carrera de formes diferents, el bloc vs el cilindre

Carrera de formes diferents, el bloc vs el cilindre
6 de juliol de 2024 No hi ha comentaris Física Oscar Alex Fernandez Mora

En la part superior d’un pla inclinat es deixen caure un bloc i un cilindre de la mateixa massa. El bloc baixa sense fregament i el cilindre baixa sense lliscar, és a dir, baixa amb rodolament pur. Quin dels dos cossos arribarà abans a terra?:

Per resoldre aquest problema, cal tenir en compte les diferents forces i les dinàmiques implicades en el moviment d’un bloc que llisca sense fregament i un cilindre que roda sense lliscar. En essència, hem de comparar el temps que triga cada cos a arribar a la part inferior del pla inclinat.

Bloc que baixa sense fregament

Per un bloc que baixa sense fregament, només cal considerar l’energia potencial que es converteix en energia cinètica transaccional:

$$mgh = \frac{1}{2} mv^2$$

Aquí, $m$ és la massa del bloc, $g$ és l’acceleració deguda a la gravetat, $h$ és l’alçada del pla inclinat i $v$ és la velocitat del bloc a la base del pla.

Resolent per la velocitat:

$$v = \sqrt{2gh}$$

Cilindre que baixa amb rodolament pur

Per un cilindre que baixa amb rodolament pur, l’energia potencial es converteix en energia cinètica translaccional i rotacional. La seva energia total es pot expressar com:

$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$$

On $I$ és el moment d’inèrcia del cilindre i $\omega$ és la velocitat angular. Per un cilindre homogeni, el moment d’inèrcia és $I = \frac{1}{2}mr^2$, i com que roda sense lliscar, $v = r\omega$.

Substituint $I$ i $\omega$:

$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}mr^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2$$

Simplificant l’expressió:

$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2$$
$$mgh = \frac{3}{4} mv^2$$

Resolent per la velocitat $v$:

$$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$$

Comparació de les velocitats

Les velocitats finals a la base del pla inclinat són:

  • Bloc: $v = \sqrt{2gh}$
  • Cilindre: $v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$

Comparant les dues velocitats:

  • Per al bloc, la velocitat és més gran que la del cilindre, ja que $\sqrt{2gh} > \sqrt{\frac{4gh}{3}}$.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *