Càlcul de la Velocitat en Col·lisions sense Fricció: Persona i Carro

Una persona de $70$ kg que va a una velocitat de $5$ m/s, salta sobre un carro de $20$ kg que es mou en el mateix sentit a una velocitat de $2$ m/s. Suposant nuppl·les les friccions. Calcula: a) La velocitat del carro després del salt. b) Si la persona torna a saltar en sentit oposat al moviment del carro amb una velocitat de $1,5$ m/s. A quina velocitat anirà després el carro?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem el principi de conservació del moment lineal, ja que es diu que les friccions són nul·les i no hi ha forces externes que afectin el sistema. El moment lineal total abans i després de cada esdeveniment (el salt de la persona al carro i el salt posterior de la persona en sentit oposat) es conserva.

Dades inicials:

• Massa de la persona: \( m_p = 70 \, \text{kg} \)

• Velocitat inicial de la persona: \( v_p = 5 \, \text{m/s} \)

• Massa del carro: \( m_c = 20 \, \text{kg} \)

• Velocitat inicial del carro: \( v_c = 2 \, \text{m/s} \)

• No hi ha friccions, per tant, el moment lineal es conserva.

a) Velocitat del carro després del salt de la persona. Quan la persona salta sobre el carro, es considera que després del salt, la persona i el carro es mouen junts amb una velocitat comuna \( v_f \). El moment lineal inicial del sistema (persona + carro) ha de ser igual al moment lineal final.

Moment lineal inicial: El moment lineal es calcula com \( p = m \cdot v \).

• Moment lineal de la persona: \( p_p = m_p \cdot v_p = 70 \, \text{kg} \cdot 5 \, \text{m/s} = 350 \, \text{kg·m/s} \)

• Moment lineal del carro: \( p_c = m_c \cdot v_c = 20 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{m/s} = 40 \, \text{kg·m/s} \)

• Moment lineal total inicial: \( p_{\text{total inicial}} = p_p + p_c = 350 + 40 = 390 \, \text{kg·m/s} \)

Moment lineal final: Després del salt, la persona i el carro es mouen junts amb una velocitat comuna \( v_f \). La massa total del sistema és la suma de les masses de la persona i el carro: \( m_{\text{total}} = m_p + m_c = 70 + 20 = 90 \, \text{kg} \).El moment lineal final és: \( p_{\text{total final}} = m_{\text{total}} \cdot v_f = 90 \cdot v_f \)Com que el moment lineal es conserva: \( p_{\text{total inicial}} = p_{\text{total final}} \) \( 390 = 90 \cdot v_f \)Despejant \( v_f \): \( v_f = \frac{390}{90} = 4.333 \, \text{m/s} \)

Resposta a): La velocitat del carro (i de la persona) després del salt és 4,33 m/s en la mateixa direcció del moviment inicial.

b) Velocitat del carro després que la persona salti en sentit oposat. Ara la persona, que està sobre el carro movent-se a \( v_f = 4.33 \, \text{m/s} \), salta en sentit oposat al moviment del carro amb una velocitat de \( 1.5 \, \text{m/s} \) respecte a la superfície (terra). Hem de calcular la velocitat final del carro \( v_c’ \).

Moment lineal inicial (abans del salt): Abans que la persona salti, el sistema (persona + carro) es mou junts a \( v_f = 4.33 \, \text{m/s} \). El moment lineal inicial és: \( p_{\text{total inicial}} = (m_p + m_c) \cdot v_f = 90 \cdot 4.33 = 390 \, \text{kg·m/s} \)

Moment lineal final (després del salt): Després del salt, la persona i el carro es mouen per separat. Suposem que la direcció original del moviment (cap a la dreta) és positiva. La persona salta en sentit oposat, per tant, la seva velocitat respecte a la terra és \( v_p’ = -1.5 \, \text{m/s} \).El moment lineal final és la suma del moment lineal de la persona i del carro:

• Moment lineal de la persona: \( p_p’ = m_p \cdot v_p’ = 70 \cdot (-1.5) = -105 \, \text{kg·m/s} \)

• Moment lineal del carro: \( p_c’ = m_c \cdot v_c’ = 20 \cdot v_c’ \)

El moment lineal total final és: \( p_{\text{total final}} = p_p’ + p_c’ = -105 + 20 \cdot v_c’ \)Com que el moment lineal es conserva: \( p_{\text{total inicial}} = p_{\text{total final}} \) \( 390 = -105 + 20 \cdot v_c’ \)Despejant \( v_c’ \): \( 20 \cdot v_c’ = 390 + 105 = 495 \) \( v_c’ = \frac{495}{20} = 24.75 \, \text{m/s} \)

Resposta b): La velocitat del carro després que la persona salti en sentit oposat és 24,75 m/s en la mateixa direcció del moviment inicial.

Resum de respostes:

a) La velocitat del carro després del salt de la persona és 4,33 m/s.

b) La velocitat del carro després que la persona salti en sentit oposat és 24,75 m/s.