Estudi d’un Moviment Harmònic Simple: Posició, Velocitat, Acceleració i Energia d’una Partícula amb Molla

Considereu una partícula de $100$ g de massa, la posició de la qual respecte a l’origen de coordenades ve donada per la funció $x(t) = A \sin(\omega t + \frac{3\pi}{5})$, on $x$ es mesura en metres i $t$ en segons (MHS al llarg de l’eix $X$ al voltant de l’origen de coordenades). La partícula completa $3$ oscil·lacions o cicles cada $6$ s. En l’instant inicial ($t = 0 \, \text{s}$), la partícula es troba a $+3 \, \text{cm}$ de l’origen de coordenades.

a) Freqüència angular, amplitud i funció de posició

Dades inicials:

• Massa: $m = 100 \, \text{g} = 0,1 \, \text{kg}$
• La partícula completa $3$ oscil·lacions en $6$ s.
• Posició inicial: $x(0) = 3 \, \text{cm} = 0,03 \, \text{m}$
• Funció de posició: $x(t) = A \sin(\omega t + \frac{3\pi}{5})$

Freqüència:
La freqüència $f$ es calcula com:
$$f = \frac{\text{nombre d’oscil·lacions}}{\text{temps}} = \frac{3}{6} = 0,5 \, \text{Hz}$$

Freqüència angular:
$$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 0,5 = \pi \, \text{rad/s}$$

Amplitud:
A $t = 0$, la posició és:
$$x(0) = A \sin\left(\frac{3\pi}{5}\right) = 0,03$$
Calculem $\sin\left(\frac{3\pi}{5}\right)$:
$$\frac{3\pi}{5} \approx 1,885 \, \text{rad}, \quad \sin(1,885) \approx 0,951$$
Aïllem $A$:
$$A = \frac{0,03}{0,951} \approx 0,03154 \, \text{m}$$

Funció de posició:
Substituint $\omega$ i $A$:
$$x(t) = 0,03154 \sin(\pi t + \frac{3\pi}{5}) \, \text{m}$$

Resposta:

• Freqüència angular: $\omega = \pi \, \text{rad/s}$
• Amplitud: $A \approx 0,03154 \, \text{m}$
• Funció de posició: $x(t) = 0,03154 \sin(\pi t + \frac{3\pi}{5}) \, \text{m}$

b) Posició, velocitat i acceleració a $t = 0,4 \, \text{s}$

Posició:
$$x(0,4) = 0,03154 \sin\left(\pi \cdot 0,4 + \frac{3\pi}{5}\right)$$
Calculem l’angle:
$$\pi \cdot 0,4 + \frac{3\pi}{5} = 0,4\pi + 0,6\pi = \pi \approx 3,1416 \, \text{rad}$$
$$\sin(\pi) = 0 \implies x(0,4) = 0,03154 \cdot 0 = 0 \, \text{m}$$

Velocitat:
La velocitat és la derivada de la posició:
$$v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \frac{3\pi}{5})$$
Substituint:
$$v(0,4) = 0,03154 \cdot \pi \cos(\pi \cdot 0,4 + \frac{3\pi}{5}) = 0,03154 \cdot \pi \cos(\pi)$$
$$\cos(\pi) = -1 \implies v(0,4) = 0,03154 \cdot \pi \cdot (-1) \approx -0,0991 \, \text{m/s}$$

Acceleració:
L’acceleració és:
$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \frac{3\pi}{5})$$
Substituint:
$$a(0,4) = -0,03154 \cdot \pi^2 \sin(\pi) = -0,03154 \cdot \pi^2 \cdot 0 = 0 \, \text{m/s}^2$$

Resposta:

• Posició: $x(0,4) = 0 \, \text{m}$
• Velocitat: $v(0,4) \approx -0,0991 \, \text{m/s}$
• Acceleració: $a(0,4) = 0 \, \text{m/s}^2$

c) Constant elàstica i energies a $t = 0,4 \, \text{s}$

Constant elàstica:
La freqüència angular està relacionada amb la constant elàstica $k$:
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \implies k = \omega^2 m$$
Substituint:
$$k = \pi^2 \cdot 0,1 \approx 0,98696 \, \text{N/m}$$

Energia total:
L’energia total en un MAS és constant i igual a l’energia potencial màxima:
$$E_{\text{total}} = \frac{1}{2} k A^2$$
$$E_{\text{total}} = \frac{1}{2} \cdot 0,98696 \cdot (0,03154)^2 \approx 0,000491 \, \text{J}$$

Energia potencial:
L’energia potencial elàstica és:
$$E_p = \frac{1}{2} k x^2$$
Com $x(0,4) = 0$:
$$E_p = \frac{1}{2} \cdot 0,98696 \cdot 0^2 = 0 \, \text{J}$$

Energia cinètica:
L’energia cinètica és:
$$E_k = \frac{1}{2} m v^2$$
Substituint $v(0,4) \approx -0,0991 \, \text{m/s}$:
$$E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot (0,0991)^2 \approx 0,000491 \, \text{J}$$

Resposta:

• Constant elàstica: $k \approx 0,98696 \, \text{N/m}$
• Energia total: $E_{\text{total}} \approx 0,000491 \, \text{J}$
• Energia potencial: $E_p = 0 \, \text{J}$
• Energia cinètica: $E_k \approx 0,000491 \, \text{J}$