Altura on el camp gravitatori terrestre es redueix n vegades

Trobeu a quina altura sobre la superfície terrestre el camp gravitatori s’ha reduït $n$ vegades, $n \in \mathbb{N}$.

Per determinar a quina altura sobre la superfície terrestre el camp gravitatori s’ha reduït $n$ vegades ($n \in \mathbb{N}$), hem de considerar la llei de la gravitació universal i com varia el camp gravitatori amb la distància.

El camp gravitatori $g$ a la superfície terrestre ve donat per:

$$g = \frac{G M}{R^2},$$

on:

• $G$ és la constant de gravitació universal ($G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$),
• $M$ és la massa de la Terra ($M \approx 5.972 \cdot 10^{24} \, \text{kg}$),
• $R$ és el radi de la Terra ($R \approx 6.371 \cdot 10^6 \, \text{m}$).

A una altura $h$ sobre la superfície terrestre, la distància al centre de la Terra és $R + h$, i el camp gravitatori $g(h)$ esdevé:

$$g(h) = \frac{G M}{(R + h)^2}.$$

El problema demana que el camp gravitatori es redueixi $n$ vegades, és a dir, que:

$$g(h) = \frac{g}{n}.$$

Substituïm les expressions de $g$ i $g(h)$:

$$\frac{G M}{(R + h)^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{G M}{R^2}.$$

Simplifiquem $G M$ dels dos costats:

$$\frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{n R^2}.$$

Invoquem l’equació:

$$(R + h)^2 = n R^2.$$

Prenem l’arrel quadrada (considerant només la solució positiva, ja que $R + h > 0$):

$$R + h = \sqrt{n} R.$$

Aïllem $h$:

$$h = \sqrt{n} R – R = R (\sqrt{n} – 1).$$

Aquesta és l’altura $h$ sobre la superfície terrestre on el camp gravitatori s’ha reduït $n$ vegades.