Càlcul de la trajectòria d’un projectil llançat des d’una altura

Es llança un objecte des d’una altura de $20$ m amb velocitat inicial $v = 30 \, \text{m/s}$ que forma un angle de $30^\circ$ amb l’horitzontal. Es demana trobar: temps de vol, abast màxim, altura màxima i velocitat total $1$ segon abans que arribi al terra.

Dades inicials:

• Velocitat inicial: $v_0 = 30 \, \text{m/s}$.
• Angle de llançament: $\theta = 30^\circ$.
• Altura inicial: $h = 20 \, \text{m}$.
• Acceleració gravitacional: $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$.
• Components de la velocitat inicial:
  $$v_{0x} = v_0 \cos \theta = 30 \cdot \cos 30^\circ = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 25,98 \, \text{m/s},$$
  $$v_{0y} = v_0 \sin \theta = 30 \cdot \sin 30^\circ = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \, \text{m/s}.$$

1. Temps de vol

El temps de vol es calcula quan l’objecte arriba al terra ($y = 0$). L’equació de la posició vertical és:
$$y = h + v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2.$$
Quan $y = 0$:
$$0 = 20 + 15 t – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot t^2 \implies 0 = 20 + 15 t – 4,9 t^2.$$
Reorganitzem en equació quadràtica:
$$4,9 t^2 – 15 t – 20 = 0.$$
Resolem:
$$t = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 – 4 \cdot 4,9 \cdot (-20)}}{2 \cdot 4,9} = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 392}}{9,8} = \frac{15 \pm \sqrt{617}}{9,8}.$$
$$t \approx \frac{15 \pm 24,84}{9,8} \implies t_1 \approx \frac{39,84}{9,8} \approx 4,07 \, \text{s}, \quad t_2 \approx \frac{-9,84}{9,8} \text{(negativa, descartada)}.$$

Temps de vol: $\approx 4,07 \, \text{s}$.

2. Abast màxim

L’abast màxim és la distància horitzontal quan $t = t_{\text{vol}}$. L’equació horitzontal és:
$$x = v_{0x} t.$$
Substituïm:
$$x_{\text{màx}} = 25,98 \cdot 4,07 \approx 105,74 \, \text{m}.$$

Abast màxim: $\approx 105,74 \, \text{m}$.

3. Altura màxima

L’altura màxima es produeix quan la velocitat vertical és zero ($v_y = 0$). Usem:
$$v_y = v_{0y} – g t = 0 \implies 15 – 9,8 t = 0 \implies t = \frac{15}{9,8} \approx 1,53 \, \text{s}.$$
La posició vertical en aquest temps és:
$$y_{\text{màx}} = 20 + 15 \cdot 1,53 – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (1,53)^2.$$
Calculem:
$$y_{\text{màx}} \approx 20 + 22,95 – 11,47 \approx 31,48 \, \text{m}.$$

Altura màxima: $\approx 31,48 \, \text{m}$.

4. Velocitat total 1 segon abans que arribi al terra

El moment d’arribar a terra és $t = 4,07 \, \text{s}$, per tant, $1$ s abans és:
$$t = 4,07 – 1 = 3,07 \, \text{s}.$$

• Component horitzontal (constant):
  $$v_x = v_{0x} = 25,98 \, \text{m/s}.$$
• Component vertical:
  $$v_y = v_{0y} – g t = 15 – 9,8 \cdot 3,07 \approx 15 – 30,09 \approx -15,09 \, \text{m/s}.$$
• Velocitat total:
  $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(25,98)^2 + (-15,09)^2} \approx \sqrt{674,96 + 227,71} \approx \sqrt{902,67} \approx 30,04 \, \text{m/s}.$$

Velocitat total: $\approx 30,04 \, \text{m/s}$.

Resposta final:

• Temps de vol: $\approx 4,07 \, \text{s}$.
• Abast màxim: $\approx 105,74 \, \text{m}$.
• Altura màxima: $\approx 31,48 \, \text{m}$.
• Velocitat total 1 s abans d’arribar al terra: $\approx 30,04 \, \text{m/s}$.