LEMNISCATA
Matemàtiques
Mes: gener de 2025
Mes: gener de 2025
Problema sobre moment angular d’un satèl·lit
Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant de la Terra. L’energia mecànica d’aquest satèl·lit és $E = – \frac{GM_T m}{2a}$ on $a$ és la longitud del semieix major, $M_T$ és la massa de la Terra i $m$ la massa del satèl·lit. Siguin $r_p$ el radi del perigeu i $r_a$ el radi de l’apogeu i
Read MoreProblema de moment angular
La sonda Voyager 1, llençada el 1977, va ser la primera nau en sortir del sistema solar després d’interaccionar amb Júpiter. El llançament va propulsar la seva massa de $720$ kg a $10,0$ km/s respecte la Terra en la mateixa direcció i sentit que la velocitat de la Terra respecte el Sol. a) Considerant sempre
Read MoreCàlcul energia i longitud d’ona d’un fotó
Calculeu l’energia i la longitud d’ona d’un fotó de $1 \times 10^{15} \, \text{Hz}$ de freqüència.$$h = 6,625 \times 10^{-34} \, \text{J·s}, \quad c = 3 \times 10^{8} \, \text{m/s}$$ $$E = h \cdot f = 6,625 \times 10^{-34} \cdot 1 \times 10^{15} = 6,72 \times 10^{-19} \, \text{J}$$ $$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times
Read MoreCàlcul de valors i vectors propis d’una matriu 3×3
Calcular els valors propis i vectors propis de la següent matriu: \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 4 & -7 & 1 \end{bmatrix} Calcula també la dimensió de l’espai propi $E(\lambda)$ corresponent a cada valor propi $\lambda$. $$A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-3 & 1 & 0
Read MoreCàlcul del vector gradient
Donada la funció$$f(x, y) = e^{1-x^2} + (xy – 3)^2$$ (a) Calculeu el vector gradient de $f$ en el punt $(1, 4)$, és a dir, $\nabla f(1, 4)$. Digueu quina és la direcció que indica aquest vector. El vector gradient de $f(x, y)$ és:$$\nabla f(x, y) =\begin{pmatrix}-2x e^{1-x^2} + 2y (xy – 3) \\2x (xy
Read MoreDeterminar dimensió d’un susbespai
Sigui S un subespai generat pels següents vectors de $R^3$: ${ (1+ a,1,1), (1,1+ a,1), (1,1,1+ a) }$. Determina en funció de a la dimensió del subespai $S$. Sigui \( S \) un subespai generat pels següents vectors de \(\mathbb{R}^3\):\[\{ (1+ a,1,1), (1,1+ a,1), (1,1,1+ a) \}.\]Volem determinar la dimensió del subespai \( S \)
Read MoreProblema sobre inferència estadística
En una zona escolar formada per tres centres de secundària, es vol estimar la proporció de l’alumnat que porta telèfon mòbil a l’institut. Es pren una mostra aleatòria simple de 121 estudiants, dels quals 74 el porten. a) Determineu un interval de confiança al $97%$ per a la proporció d’aquest alumnat que porta el mòbil
Read MoreProblema d’inferència estadística sobre les xarxes socials
En un estudi sobre la utilització de noves tecnologies entre els estudiants de Batxillerat, s’ha realitzat una enquesta a $\mathbf{500}$ estudiants seleccionats mitjançant mostreig aleatori simple, resultant que $\mathbf{380}$ d’ells són usuaris d’una determinada xarxa social. a) Calculeu un interval de confiança al $\mathbf{97%}$ per a la proporció d’estudiants que són usuaris d’aquesta xarxa social.
Read MoreProblema de probabilitat condicionada sobre cotxes
La companyia d’assemblatge d’automòbils Ford s’ha presentat a una licitació per assemblar un nou model de vehicles. La probabilitat que Ford guanyi la licitació és de 0,90 si la firma competidora GTR no es presenta a la licitació, i de 0,20 en cas contrari. El president de Ford estima que hi ha una probabilitat de
Read MoreProblema sobre l’energia d’un protó
L’energia total d’un protó és dues vegades l’energia que té en repòs. Si la massa del protó és de $1,67 \cdot 10^{-27} \ \text{kg}$, calculeu: a) L’energia en repòs del protó. b) La velocitat del protó. c) L’energia cinètica del protó. $$E_0 = m_0 c^2 = 1,67 \cdot 10^{-27} \cdot (3 \cdot 10^8)^2 \rightarrow E_0
Read More- 1
- 2