Problema 3. Examen selectivitat Juny 2013 Catalunya

Disposem d’una massa lligada a una molla que realitza un moviment harmònic simple. Sabem que a l’instant inicial la seva posició i velocitat són $x = 1,0 \, \text{m}$ i $v = -5,44 \, \text{m/s}$, i que les energies cinètica i potencial en aquest mateix instant són $E_k = 12,0 \, \text{J}$ i $E_p = 4,0 \, \text{J}$. Calculeu: a) La constant de recuperació de la molla i el valor de la massa del cos que fa el moviment, així com l’energia mecànica total del sistema. b) L’amplitud, la freqüència angular i la fase inicial del moviment harmònic que fa la massa. Escriviu l’equació del moviment resultant.

$\textbf{a)}$ L’energia potencial d’un moviment vibratori harmònic és

\[E_p = \frac{1}{2} k x^2\]

per tant:

\[E_p = \frac{1}{2} k x^2 \implies 4 = \frac{1}{2} k \cdot 1^2 \implies k = 8,00 \, \text{N/m}\]

D’altra banda, tindrem:

\[E_c = \frac{1}{2} m v^2 \implies 12 = \frac{1}{2} m (5,44)^2 \implies m = \frac{24}{(5,44)^2} = 8,11 \cdot 10^{-1} \, \text{kg}\]

Per l’energia total tindrem:

$$E = E_p + E_c = 12 + 4 = 16 \, \text{J}$$ $$\boxed{E = 16 \, \text{J}}$$

$\textbf{b)}$ La freqüència angular del moviment és

\[\omega^2 = \frac{k}{m}\]

i per tant

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{8,00}{0,811}} \approx 3,14 \, \text{rad/s}\]

L’amplitud surt de l’expressió de l’energia total del moviment:

$$E = \frac{1}{2} k A^2 \implies A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 16}{8}} = 2,00 \, \text{m}$$ $$A = \boxed{2,00 \, \text{m}}$$

Per trobar la fase inicial hem d’anar a les condicions inicials, tot tenint present que l’equació general del moviment harmònic simple és

\[x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\]

(També considerem correcte les expressions si partim de l’elongació amb la funció sinus.) Per tant, a $t = 0$ resulta

\[x = A \cos \varphi \quad \text{i} \quad v = -A \omega \sin \varphi\]

Amb $x(0) = 1 \, \text{m}$ i $v(0) = -5,44 \, \text{m/s}$, i els valors anteriors, obtenim

\[1 = 2 \cos \varphi \quad \text{i} \quad -5,44 = -2 \cdot 3,14 \sin \varphi\]

\[\cos \varphi = 0,5; \quad \sin \varphi = 0,86 \implies \tan \varphi = \frac{0,86}{0,5}\]

$$\varphi = \arctan\left(\frac{0,86}{0,5}\right) \approx 1,04 \, \text{rad}$$ $$\boxed{\varphi = 1,04 \, \text{rad}}$$

Per tant, l’equació del moviment és:

$$x(t) = 2 \cos\left(3,14 \, \text{rad/s} \cdot t + 1,04 \, \text{rad}\right) \, \text{m}$$ $$\boxed{x(t) = 2 \cos(3,14 t + 1,04) \, \text{m}}$$