LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Categoria: Geometria
Categoria: Geometria
Perpendicularitat recta i pla
Siguin la recta $$r:\ \frac{x-1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2}$$ i el pla $$\pi:\ 2x – y + kz = 0$$ Calcular: a) Els valors de $m$ i $k$ perquè la recta sigui perpendicular al pla. b) Els valors de $m$ i $k$ perquè la recta estigui continguda en el pla.
Read MoreProblema geometria
a) Trobeu la distància del punt $P(1,-1,3)$ a la recta que passa pels punts $Q(1,2,1)$ i $R(1,0,-1)$. b) Calculeu l’àrea del triangle els vèrtexs del qual són els punts $P$, $Q$ i $R$. c) Trobeu tots els punts $S$ del pla determinat per $P$, $Q$ i $R$ de manera que
Read MoreEstudi de dependència lineal i producte mixt per a vectors amb paràmetre
Donats els vectors $\vec{u} = (a, 1 + a, 2a)$, $\vec{v} = (a, 1, a)$ i $\vec{w} = (1, a, 1)$, es demana: a) Determinar els valors de $a$ perquè els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ siguin linealment dependents. b) Estudiar si el vector $\vec{c} = (3, 3, 0)$ depèn
Read MoreRecta i pla. Punt d’intersecció
Tenim una recta $r$ a $\mathbb{R}^3$ que passa pels punts $(2,2,4)$ i $(-1,2,1)$, i un pla $\pi$ que passa pels punts $(1,0,1),\ (1,-1,0)\ i\ (3,0,0)$. Es demana: a) Provar que la recta $r$ no és paral·lela al pla $\pi$.b) Calcular el punt $P$ d’intersecció de $r$ amb $\pi$. 1. Equació
Read MorePosició relativa de dos plans
Estudieu la posició relativa dels plans $\pi$ i $\pi’$: a) El pla $\pi$ passa pel punt $P(1,2,4)$ i és perpendicular a la recta$$r : (x,y,z)=t(1,-2,1).$$ b) El pla $\pi’$ conté la recta$$r’:\begin{cases}x = 2 – 3\lambda\\y = \lambda\\z = 1 + 5\lambda\end{cases}$$i el punt $A(1,0,2)$. 1. Pla $\pi$ La recta
Read MoreRectes secants
Calculeu el valor de $a$ perquè les rectes $r$ i $s$ siguin secants. $$r:\quad\begin{cases}x = 2 + \lambda \\y = 3 – 2\lambda \\z = \lambda\end{cases}\qquads:\quad\begin{cases}x = 1 + a\mu \\y = -1 + 2\mu \\z = 3 + 5\mu\end{cases}$$ Les rectes són secants si existeixen valors $\lambda$ i $\mu$
Read MoreEquacions rectes i plans
Donats els punts $P(-1,2,1)$, $Q(0,1,3)$ i la recta $r$ d’equació $$3x = y+2 = 2z,$$ es demana: a) Donar equacions paramètriques d’una recta paral·lela a $r$ que passi per $P$. b) Trobar l’equació implícita del pla que conté $P$ i $Q$ i és paral·lel a $r$. c) Trobar l’equació implícita
Read MoreVèrtexs consecutius d’un paral·lelogram
Calculeu els valors de $m$ i $n$ per a que els punts $A(1,1,1)$, $B(2,0,-1)$, $C(5,m,1)$ i $D(n,3,3)$ siguen els vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Calculeu la seua àrea i obteniu l’equació del pla que el conté. Donats $A(1,1,1)$, $B(2,0,-1)$, $C(5,m,1)$, $D(n,3,3)$ i sabent que $A,B,C,D$ són vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram, cal
Read MoreCàlcul de les coordenades d’un trapezi
Suposeu que $ABCD$ és un trapezi els costats no paral·lels del qual són $AB$ i $CD$. Sabent que en una referència es té $A(1,-1,1)$, $B(2,0,3)$, $C(12,-,-,-)$ i $D(7,2,-2)$, calculeu raonadament les coordenades de $C$ i digueu si les diagonals es tallen en el punt mitjà. Suposeu que $ABCD$ és un
Read MorePosició relativa de dues rectes
¿Quina és la posició relativa de les rectes $r:\ \dfrac{x-1}{2}=y=\dfrac{z+3}{3}\;$ i $\;s:\ x+3=-y=\dfrac{z}{4}\ ?$ Recta $r$$$\dfrac{x-1}{2}=y=\dfrac{z+3}{3}=t (t\in\mathbb{R})$$\begin{equation}\boxed{\begin{cases}x=1+2t \\ y=t \\ z=-3+3t\end{cases}}\text{punt } P(1,0,-3),\ \vec{v}_r=(2,1,3)\end{equation} Recta s$$x+3=-y=\dfrac{z}{4}=\lambda (\lambda\in\mathbb{R})$$\begin{align}x+3&=\lambda \Rightarrow x=\lambda-3 \\-y&=\lambda \Rightarrow y=-\lambda \\\dfrac{z}{4}&=\lambda \Rightarrow z=4\lambda\end{align}\begin{equation}\boxed{\begin{cases}x=-3+\lambda \\y=-\lambda \\z=4\lambda\end{cases}}\text{punt } Q(-3,0,0),\ \vec{v}_s=(1,-1,4)\end{equation} Pas 1. Són paral·leles?Comprovem si $\vec{v}_r = k\,\vec{v}_s$:$$(2,1,3)=k(1,-1,4)\;\Rightarrow\;\begin{cases}2=k\\1=-k\\3=4k\end{cases}\;\Rightarrow\;\begin{cases}k=2\\k=-1\\k=\frac{3}{4}\end{cases}$$Impossible. Per tant,
Read More