LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Mes: setembre de 2026
Mes: setembre de 2026
Inversa d’una matriu
Lemniscata · Àlgebra Lineal Inversa d’una matriu Mètode de Gauss-Jordan Enunciat Trobeu la inversa de la matriu \[ B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 2 & 1 & 3\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] si existeix, utilitzant el mètode de Gauss-Jordan. Resolució Formem la matriu ampliada \([B\mid
Read MorePolinomi característic d’una matriu 2×2
[2007SetA1] Polinomi característic d’una matriu 2×2 A cada matriu real $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ li associam el polinomi $$p(x)=x^2-(a+d)x+|A|,$$ on $|A|$ indica el determinant de $A$. Diem que $p(x)$ és el polinomi característic de la matriu $A$. Apartat a) Trobar una matriu que tingui com a polinomi característic $p(x)=x^2+x+1$. Quantes matrius hi ha
Read MoreMatrius ortogonals
[2005JunB1] Matrius ortogonals Definició. Una matriu quadrada és ortogonal si la seva inversa coincideix amb la transposada: $A^{-1}=A^t$, o, equivalentment, $A\cdot A^t=I$. Apartat a) Demostrar que una matriu de la forma $R=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$, on $\alpha\in\mathbb R$, és ortogonal. Transposada. $$R^t=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$$ Producte $R\cdot R^t$. $$R\cdot R^t=\begin{pmatrix}\cos^2\alpha+\sin^2\alpha&\cos\alpha\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\\\sin\alpha\cos\alpha-\cos\alpha\sin\alpha&\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I,$$ perquè $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$. $R\,R^t=I$, per tant $R^{-1}=R^t$:
Read MoreInversa d’una matriu i sistema
[2005SepB4] Inversa d’una matriu i sistema Comprovau que la matriu $A^{-1}$ donada és la inversa de $A$, i utilitzau-la per resoldre el sistema $A\cdot(x,y,z)^t=(1,2,3)^t$. $$A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&2&1\\1&1&1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}-1&-3&5\\-1&1&1\\2&2&-2\end{pmatrix}$$ Comprovació de la inversa Basta veure que $A\cdot A^{-1}=I$, ja que $A$ és quadrada. $$A\cdot\frac14\begin{pmatrix}-1&-3&5\\-1&1&1\\2&2&-2\end{pmatrix}=\frac14\begin{pmatrix}-1+1+4&-3-1+4&5-1-4\\0-2+2&2+2&2-2\\-1-1+2&-3+1+2&5+1-2\end{pmatrix}=\frac14\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}=I.$$ La matriu donada és la inversa de A Resolució
Read MoreProbabilitat d’un nombre entre 1 i 25
Probabilitat d’un nombre entre 1 i 25 S’elegeix un nombre natural entre l’1 i el 25, de manera que tots tenguin la mateixa probabilitat de ser escollits. Responeu les preguntes següents, descrivint en cada apartat el succés corresponent, i feu servir, als apartats de càlcul de probabilitats, les propietats de
Read MoreDiscussió d’un sistema amb dos paràmetres
Discussió d’un sistema amb dos paràmetres Discuteix i resol el sistema segons els valors de $a$ i $b$. $$\begin{cases}(1+a)x+y-z=1+b\\x+y+2z=4\\2ax-5z=2b-5\end{cases}$$ Matrius del sistema. $$A=\begin{pmatrix}1+a&1&-1\\1&1&2\\2a&0&-5\end{pmatrix},\qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1+a&1&-1&1+b\\1&1&2&4\\2a&0&-5&2b-5\end{array}\right)$$ Determinant de $A$, desenvolupant per la primera fila. $$\det A=(1+a)(-5)-\big(-5-4a\big)+(-1)(-2a)=-5-5a+5+4a+2a=a.$$ Per tant, $\operatorname{rang}A=3$ si $a\neq0$, i $\operatorname{rang}A
Read MoreInverses de matrius
Inverses de matrius Calcula les inverses de les matrius següents. $$\text{a)}\ \begin{pmatrix}-2&3\\1&-1\end{pmatrix}\qquad\qquad \text{b)}\ \begin{pmatrix}1&3&1\\2&-1&2\\3&2&-3\end{pmatrix}$$ Apartat a) Determinant. $$\det A=(-2)(-1)-3\cdot1=-1\neq0,$$ per tant $A$ és invertible. Fórmula per a matrius 2×2. Si $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, llavors $A^{-1}=\dfrac1{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. $$A^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}-1&-3\\-1&-2\end{pmatrix}$$ Inversa $$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix}$$ Comprovació. $\begin{pmatrix}-2&3\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. Apartat b) Determinant, desenvolupant per la primera fila. $$\det B=1\begin{vmatrix}-1&2\\2&-3\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&2\\3&-3\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}2&-1\\3&2\end{vmatrix}=1(-1)-3(-12)+7=42\neq0$$ Per
Read MoreRang en funció d’un paràmetre
Rang en funció d’un paràmetre Determina els valors d’$a$ pels quals $\operatorname{rang}(A)\neq3$. $$A=\begin{pmatrix}1&a&1\\a+1&1&-a\\2&1&-1\end{pmatrix}$$ Condició. Com que $A$ és quadrada d’ordre 3, $\operatorname{rang}(A)=3$ si i només si $\det A\neq0$. Per tant, $\operatorname{rang}(A)\neq3$ exactament quan $\det A=0$. Determinant. Per la regla de Sarrus: $$\det A=\big[-1-2a^2+(a+1)\big]-\big[2-a-a(a+1)\big]=-2a^2+a-2+2a+a^2=-a^2+3a-2.$$ Equació. Resolem $\det A=0$: $$-a^2+3a-2=0\;\Longleftrightarrow\;(a-1)(2-a)=0\;\Longleftrightarrow\;a=1\ \text{ o
Read MoreExemple. Inversa per Gauss–Jordan
Exemple. Inversa per Gauss–Jordan Calculem la inversa de la matriu de coeficients del sistema anterior. $$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&4\\5&8&9\end{pmatrix}$$ Escrivim la matriu ampliada $(A\,|\,I)$. $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&1&1&0&0\\2&3&4&0&1&0\\5&8&9&0&0&1\end{array}\right)$$ Fem zeros sota el primer pivot. $f_2\leftarrow f_2-2f_1$$f_3\leftarrow f_3-5f_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&1&1&0&0\\0&1&2&-2&1&0\\0&3&4&-5&0&1\end{array}\right)$$ Fem zero sota el segon pivot. $f_3\leftarrow f_3-3f_2$ $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&1&1&0&0\\0&1&2&-2&1&0\\0&0&-2&1&-3&1\end{array}\right)$$ Normalitzem el tercer pivot. $f_3\leftarrow -\tfrac12f_3$ $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&1&1&1&0&0\\0&1&2&-2&1&0\\0&0&1&-\tfrac12&\tfrac32&-\tfrac12\end{array}\right)$$ Fem zero
Read MoreSistema d’equacions lineals
Sistema d’equacions lineals Resol el sistema següent i classifica’l. $$\begin{cases}x+y+z=1\\2x+3y+4z=0\\5x+8y+9z=0\end{cases}\qquad\text{és a dir}\qquad \begin{pmatrix}1&1&1\\2&3&4\\5&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$$ Classificació Calculem el determinant de la matriu de coeficients: $$\det A=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\5&8&9\end{vmatrix}=1(27-32)-1(18-20)+1(16-15)=-5+2+1=-2\neq0.$$ Així, $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}(A|b)=3=$ nombre d’incògnites. Sistema compatible determinat Mètode 1: Gauss Escrivim la matriu ampliada. $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\2&3&4&0\\5&8&9&0\end{array}\right)$$ Fem zeros sota el primer pivot. $F_2\leftarrow F_2-2F_1$$F_3\leftarrow F_3-5F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&1&2&-2\\0&3&4&-5\end{array}\right)$$ Fem
Read More