LEMNISCATA
Matemàtiques
Categoria: Matemàtiques
Categoria: Matemàtiques
Resolució d’una equació diferencial exacta amb variables x i y
Resoleu l’equació diferencial: $$\left( x^2 + \frac{y}{x} \right) dx + (\ln x + 2y) dy = 0,$$ suposant que $x > 0$. Pas 1: Comprovar si l’equació és exacta Una equació diferencial de la forma $M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$ és exacta si $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial
Read MoreCàlcul de l’altura màxima d’una pedra llançada verticalment enlaire
Si tirem una pedra enlaire, verticalment, a quina altura arriba? Considereu la pedra com un punt, i només actuant el camp gravitatori. La funció que descriu el moviment és: $x \rightarrow x(t) \rightarrow \text{posició (alçada) de la pedra en l’instant } t$. L’equació plantejada és: $F = ma \Rightarrow -mg
Read MoreCost anual de la neteja de les instal·lacions d’una empresa
El cost anual de la neteja de les instal·lacions d’una empresa que va obrir fa 20 anys, expressat en centenars d’euros, és donat per la funció \[C(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{10} + 10, & \text{si } t \in [0,10] \\ 28 – \frac{(t-14)^2}{2}, & \text{si } t \in (10,20]\end{cases}\] en què
Read MoreCreixement Exponencial de Bacteris: Temps per Quintuplicar una Colònia
Una determinada colònia de bacteris té inicialment \( x_0 \) individus. En períodes curts de temps, el ritme de creixement és proporcional al nombre d’individus present en cada instant. Si la colònia triga 2 hores a triplicar-se, calculeu el temps necessari per quintuplicar-se. La dinàmica d’aquesta població es pot analitzar
Read MoreVerificació i Resolució d’una Equació Diferencial Ordinària
Comproveu que $y = y(x) = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$ és solució de $y’ + 2y = e^x$. Trobeu la solució de l’equació donada tal que $y(0) = 1$. Per comprovar que $y = y(x) = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$ és solució de $y’ + 2y = e^x$, hem de substituir aquesta
Read MoreMatriu associada a una transformació lineal en una base
Siguin $B = {a, b, c}$ una base de l’espai vectorial $V$ i $T: V \to \mathbb{R}^2$ una transformació lineal tal que: $$T(x_1 a + x_2 b + x_3 c) = (2x_1 – x_2 + 4x_3, x_1 – x_3)$$, amb $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{R}$. a) Calcular la matriu associada
Read MoreParal·lelisme i Projecció de Rectes en Plans
Siguin les rectes: $$L_1: \begin{cases} x = 1 \\ y + z = 0 \end{cases}$$ i la recta $L_2$ que passa pels punts $P(1, k, 0)$ i $Q(1, 1, 4)$. a) Trobar, si és possible, el valor real de $k$ tal que les rectes siguin paral·leles. Després, calcular la distància
Read MoreProjecció d’una recta sobre un pla
Donat $\pi: x + y + z – 3 = 0$ a) Trobar la projecció de la recta $r: (x, y, z) = \lambda (0, 2, 1)$ sobre $\pi$. b) Donada la recta $s: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(-2, b, c)$, trobar els valors de $b$
Read MoreCàlcul de la recta paral·lela a un pla amb angle de 30º respecte a un altre pla
Determina la recta $r$ que és paral·lela al pla $\pi: x – z = 3$, forma $30$º amb el pla $\pi’: z = -2$ i passa pel punt $A(0, 3, 5)$. Els vectors normals als plans donats són $\vec{n}\pi = (1, 0, -1)$ i $\vec{n}{\pi’} = (0, 0, 1)$.Es calcula
Read MorePiscifactoria. Maximitzar
El propietari d’una piscifactoria ha determinat que si compra (x) peixos (en millars), llavors, al cap d’un mes tindrà $$f(x) = \frac{9x}{2x + 4}$$ peixos. Quants peixos ha de comprar per aconseguir que la ganància, $f(x) – x$, sigui màxima? La quantitat òptima de peixos que ha de comprar serà
Read More