Una bomba accionada per un motor tèrmic

En una instal·lació, una bomba accionada per un motor tèrmic, fa pujar un volum V = 600 m3 d’aigua fins una altura h = 3, 6 m en un temps t = 10 h de funcionament estacionari. Determineu: (a) El treball W fet per la bomba. (b) La potència hidràulica $P_h$ que desenvolupa la bomba. (c) El rendiment $\eta$ del grup motobomba, si el motor ha consumit c = 3 L d’un combustible de densitat $\rho$ = 850 kg/m3 i de poder calorífic $p_c$ = 42, 5 MJ/kg

Per resoldre aquest problema, necessitem conèixer la relació entre el treball, la potència i el temps:

$$W = P\cdot t$$

on $W$ és el treball realitzat, $P$ és la potència i $t$ és el temps.

(a) El treball realitzat per la bomba és:

$$W = mgh$$

on $m$ és la massa d’aigua que es mou, $g$ és l’acceleració de la gravetat i $h$ és l’altura a la qual es mou l’aigua.

Podem calcular la massa d’aigua a partir del volum i la densitat:

$$m = \rho\cdot V = 1000 kg/m^3 \cdot 600 m^3 = 600000 kg$$

Per tant, el treball realitzat per la bomba és:

$$W = 600000 kg \cdot 9.81 m/s^2 \cdot 3.6 m = 211.68 MJ$$

(b) La potència hidràulica desenvolupada per la bomba és:

$$P_h = W/t = 211.68 MJ / 10 h = 0.0588 MW$$

(c) El rendiment $\eta$ del grup motobomba

Per calcular el rendiment $\eta$ del grup motobomba, necessitem conèixer l’energia que s’ha convertit en treball útil i l’energia total que s’ha subministrat al sistema.

L’energia total subministrada al sistema és igual al producte del consum de combustible c, la densitat del combustible $\rho$ i el poder calorífic del combustible P_c, és a dir:

$$\text{Energia total subministrada} = c \cdot \rho \cdot P_c$$

Substituint els valors que ens han proporcionat, obtenim:

$$\text{Energia total subministrada} = 3 L \cdot 850 kg/m^3 \cdot 42,5 MJ/kg = 108.375 MJ = 1.08 \cdot10^8\ J$$

llavors

$$P_{consumida}= \frac{W}{t} = \frac{1.08 \cdot10^8\ J}{10\cdot3600} = 3.01 \cdot10^3\ J$$

finalment, el rendiment val

$$\eta = \frac{3.01 \cdot10^3}{5.88\cdot10^2} = 0.2$$