Exercici 4 Opció B. SÈRIE 2 PAU. LOGSE. Curs 2002-2003

Una estufa monofàsica, de característiques $U = 230$ V i $P = 1800$ W, s’alimenta amb un cable de longitud $L = 50$ m. Es vol que la caiguda de tensió en el cable no superi el $2\%$. El cable està constituït per conductors de resistivitat $\rho = 0.0179 \ \mu\Omega \cdot \text{m}$. (a) Quina és la resistència màxima $R_{\text{màx}}$ que pot tenir cada conductor del cable? (b) Quina és la secció mínima $S_{\text{mín}}$ d’un conductor? (c) Escolliu una secció normalitzada d’entre les següents: 1, 1.5, 2.5, 4, 6, 10, 16, 25 mm(^2). (d) Amb la secció escollida a l’apartat anterior, quina és la caiguda de tensió $\Delta V$ expressada en %?

Anem a resoldre aquest problema pas a pas, en català, seguint les dades proporcionades i utilitzant les fórmules elèctriques necessàries. Les dades són:

• Tensió nominal: $U = 230 \, \text{V}$,
• Potència de l’estufa: $P = 1800 \, \text{W}$,
• Longitud del cable: $L = 50 \, \text{m}$,
• Caiguda de tensió màxima permesa: $2\%$,
• Resistivitat del conductor: $\rho = 0.0179 \, \mu\Omega \cdot \text{m}$.

(a) Quina és la resistència màxima $R_{\text{màx}}$ que pot tenir cada conductor del cable?

Pas 1: Calculem la caiguda de tensió màxima permesa

La caiguda de tensió màxima permesa és el $2\%$ de la tensió nominal $U$:

$$\Delta V_{\text{màx}} = 2\% \times U = \frac{2}{100} \times 230 = 4.6 \, \text{V}.$$

Pas 2: Calculem el corrent que circula per l’estufa

La potència $P$ es relaciona amb la tensió $U$ i el corrent $I$ mitjançant la fórmula:

$$P = U \cdot I \implies I = \frac{P}{U}.$$

Substituint:

$$I = \frac{1800}{230} \approx 7.826 \, \text{A}.$$

Pas 3: Determinem la resistència màxima total del cable

En un circuit monofàsic, el cable té dos conductors (anada i tornada), per tant, la longitud total del conductor pel qual passa el corrent és $2L$:

$$L_{\text{total}} = 2 \times 50 = 100 \, \text{m}.$$

La caiguda de tensió total en el cable (anada i tornada) ve donada per la llei d’Ohm:

$$\Delta V = I \cdot R_{\text{total}},$$

on $R_{\text{total}}$ és la resistència total del cable (suma de les resistències dels conductors d’anada i tornada). Com que els dos conductors són idèntics, $R_{\text{total}} = 2 R$, on $R$ és la resistència d’un sol conductor. Substituint:

$$\Delta V_{\text{màx}} = I \cdot (2 R_{\text{màx}}).$$

Reorganitzem per trobar $R_{\text{màx}}$:

$$2 R_{\text{màx}} = \frac{\Delta V_{\text{màx}}}{I} \implies R_{\text{màx}} = \frac{\Delta V_{\text{màx}}}{2 I}.$$

Substituint els valors:

$$R_{\text{màx}} = \frac{4.6}{2 \times 7.826} = \frac{4.6}{15.652} \approx 0.2939 \, \Omega.$$

Resposta (a):

$$R_{\text{màx}} \approx 0.294 \, \Omega.$$

---

(b) Quina és la secció mínima $S_{\text{mín}}$ d’un conductor?

Pas 1: Relació entre resistència i secció del conductor

La resistència d’un conductor ve donada per la fórmula:

$$R = \rho \frac{L}{S},$$

on:

• $\rho = 0.0179 \, \mu\Omega \cdot \text{m}$ (resistivitat),
• $L = 50 \, \text{m}$ (longitud d’un conductor),
• $S$ és la secció del conductor en $\text{m}^2$.

Primer, convertim la resistivitat a unitats més convenients. Com que $1 \, \mu\Omega = 10^{-6} \, \Omega$:

$$\rho = 0.0179 \, \mu\Omega \cdot \text{m} = 0.0179 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{m} = 1.79 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}.$$

Pas 2: Calculem la secció mínima

Utilitzem $R_{\text{màx}} = 0.2939 \, \Omega$ i reordenem la fórmula per trobar $S$:

$$R_{\text{màx}} = \rho \frac{L}{S_{\text{mín}}} \implies S_{\text{mín}} = \frac{\rho L}{R_{\text{màx}}}.$$

Substituint:

$$S_{\text{mín}} = \frac{(1.79 \times 10^{-8}) \times 50}{0.2939} = \frac{8.95 \times 10^{-7}}{0.2939} \approx 3.046 \times 10^{-6} \, \text{m}^2.$$

Convertim la secció a $\text{mm}^2$:

$$S_{\text{mín}} = 3.046 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 10^6 \, \text{mm}^2/\text{m}^2 = 3.046 \, \text{mm}^2.$$

Resposta (b):

$$S_{\text{mín}} \approx 3.05 \, \text{mm}^2.$$

---

(c) Escollim una secció normalitzada

Les seccions normalitzades disponibles són: 1, 1.5, 2.5, 4, 6, 10, 16, 25 $\text{mm}^2$.

La secció mínima calculada és $S_{\text{mín}} \approx 3.05 \, \text{mm}^2$. Hem de triar la secció normalitzada immediatament superior a aquest valor per garantir que la caiguda de tensió no superi el $2\%$:

• $2.5 \, \text{mm}^2 < 3.05 \, \text{mm}^2$,
• $4 \, \text{mm}^2 > 3.05 \, \text{mm}^2$.

Per tant, escollim:

$$S = 4 \, \text{mm}^2.$$

Resposta (c):

La secció normalitzada escollida és:

$$S = 4 \, \text{mm}^2.$$

---

(d) Caiguda de tensió amb la secció escollida, expressada en %

Pas 1: Calculem la resistència del conductor amb $S = 4 \, \text{mm}^2$

Primer, convertim la secció a $\text{m}^2$:

$$S = 4 \, \text{mm}^2 = 4 \times 10^{-6} \, \text{m}^2.$$

Calculem la resistència d’un conductor:

$$R = \rho \frac{L}{S} = \frac{(1.79 \times 10^{-8}) \times 50}{4 \times 10^{-6}} = \frac{8.95 \times 10^{-7}}{4 \times 10^{-6}} = 0.22375 \, \Omega.$$

La resistència total del cable (anada i tornada) és:

$$R_{\text{total}} = 2 R = 2 \times 0.22375 = 0.4475 \, \Omega.$$

Pas 2: Calculem la caiguda de tensió

La caiguda de tensió és:

$$\Delta V = I \cdot R_{\text{total}} = 7.826 \times 0.4475 \approx 3.502 \, \text{V}.$$

Pas 3: Expressem la caiguda de tensió en percentatge

La caiguda de tensió en percentatge respecte a la tensió nominal és:

$$\Delta V (\%) = \frac{\Delta V}{U} \times 100 = \frac{3.502}{230} \times 100 \approx 1.523\%.$$

Resposta (d):

La caiguda de tensió amb la secció de $4 \, \text{mm}^2$ és:

$$\Delta V \approx 1.52\%.$$

---

Resum de les respostes

$$\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{(a)} & R_{\text{màx}} \approx 0.294 \, \Omega, \
\text{(b)} & S_{\text{mín}} \approx 3.05 \, \text{mm}^2, \
\text{(c)} & S = 4 \, \text{mm}^2, \
\text{(d)} & \Delta V \approx 1.52\%.
\end{array}
}$$