Exercici 3 Opció B. SÈRIE 3 PAU. LOGSE. Curs 2001-2002

Una lluminària té tres bombetes halògenes de característiques nominals: $$\boxed{U_N = 220\ \text{V}\ \quad P_N = 100\ \text{W}}$$ La lluminària es connecta a una xarxa de $220$ V. El valor inicial (en fred) de la resistència és del $50\%$ de la que té quan està en condicions nominals (en calent). Determineu: (a) El valor de la resistència de cada bombeta en calent i en fred. (b) El corrent i la potència de la lluminària en el moment d’encendre’s. (c) El corrent i la potència de la lluminària en condicions nominals.

Apartat a: Resistència de cada bombeta en calent i en fred

La potència nominal es defineix com: $$P_N = \frac{V_N^2}{R_{\text{calent}}}$$

Aïllant $R_{\text{calent}}$: $$R_{\text{calent}} = \frac{V_N^2}{P_N} = \frac{220^2}{100} = \frac{48400}{100} = 484 \ \Omega$$

Ens diuen que la resistència en fred és el 50% de la resistència en calent, per tant: $$R_{\text{fred}} = 0.5 \times R_{\text{calent}} = 0.5 \times 484 = 242 \ \Omega$$

Apartat b: Corrent i potència de la lluminària en el moment d’encendre’s

En el moment d’encendre’s, la resistència de cada bombeta és $R_{\text{fred}} = 242 \Omega$. Suposant que les tres bombetes estan en paral·lel, la resistència equivalent del conjunt és: $$\frac{1}{R_{\text{eq, fred}}} = \frac{1}{R_{\text{fred}}} + \frac{1}{R_{\text{fred}}} + \frac{1}{R_{\text{fred}}}$$ $$\frac{1}{R_{\text{eq, fred}}} = \frac{3}{242}$$ $$R_{\text{eq, fred}} = \frac{242}{3} = 80.67 \ \Omega$$

El corrent total de la lluminària en el moment d’encendre’s és: Iinicial $$I_{\text{inicial}} = \frac{V_N}{R_{\text{eq, fred}}} = \frac{220}{80.67} = 2.73 \text{ A}$$

La potència inicial absorbida per la lluminària és: $$P_{\text{inicial}} = V_N \cdot I_{\text{inicial}} = 220 \times 2.73 = 600.6 \text{ W}$$

Apartat c: Corrent i potència de la lluminària en condicions nominals

En condicions nominals, la resistència de cada bombeta és $R_{\text{calent}} = 484 \Omega$, i la resistència equivalent del conjunt en paral·lel és: $$\frac{1}{R_{\text{eq, calent}}} = \frac{1}{R_{\text{calent}}} + \frac{1}{R_{\text{calent}}} + \frac{1}{R_{\text{calent}}}$$ $$\frac{1}{R_{\text{eq, calent}}} = \frac{3}{484}$$ $$R_{\text{eq, calent}} = \frac{484}{3} = 161.33 \ \Omega$$

El corrent total en condicions nominals: $$I_{\text{nominal}} = \frac{V_N}{R_{\text{eq, calent}}} = \frac{220}{161.33} = 1.364 \text{ A}$$

La potència total en condicions nominals: $$P_{\text{nominal}} = V_N \cdot I_{\text{nominal}} = 220 \times 1.364 = 300 \text{ W}$$

Resum de resultats:

Aquest resultat confirma que, en el moment d’encendre’s, el consum és molt més elevat (més del doble) que en condicions estables, a causa de la menor resistència en fred de les bombetes.