Problema satèl·lit natural

Un satèl·lit natural, de $8\cdot10^{10}$ kg de massa, gira en una òrbita circular a una altura de $800$ km sobre la superfície d’un cert planeta $P$, les dades del qual es proporcionen a sota. DADES: Massa del planeta $P$: $M_P = 5\cdot10^{25}$ kg Ràdio del planeta $P$: $R_P = 2\cdot10^4$ km a) Trobar el període orbital del satèl·lit. b) Trobar l’energia total del satèl·lit. c) Trobar el valor del camp gravitatori a la superfície del planeta.

a) Període orbital del satèl·lit

Ja hem trobat el període orbital del satèl·lit amb la fórmula:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_P}}$$

On:

• $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2$
• $M_P = 5 \times 10^{25} \, \text{kg}$
• $r = R_P + h = 2 \times 10^7 + 8 \times 10^5 = 2.08 \times 10^7 \, \text{m}$

Substituint els valors:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{(2.08 \times 10^7)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{25}}}$$

Aquest càlcul ja ens ha donat $T \approx 10,321 \, \text{s}$, que equival a unes $2$ hores i $52$ minuts.

b) Energia total del satèl·lit

La fórmula per a l’energia total del satèl·lit és:

$$E_{\text{total}} = -\frac{GM_P m}{2r}$$

Substituint els valors:
$$E_{\text{total}} = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{25} \times 8 \times 10^{10}}{2 \times 2.08 \times 10^7}$$

Càlculant pas a pas:

$$E_{\text{total}} = -\frac{2.668 \times 10^{26}}{4.16 \times 10^7}$$
$$E_{\text{total}} \approx -6.42 \times 10^{18} \, \text{J}$$

Així que l’energia total del satèl·lit és aproximadament $-6.42 \times 10^{18} \, \text{joules}$.

c) Valor del camp gravitatori en la superfície del planeta

El camp gravitatori a la superfície del planeta es calcula amb la fórmula:

$$g = \frac{GM_P}{R_P^2}$$

Substituint els valors:
$$g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{25}}{(2 \times 10^7)^2}$$

Càlculant pas a pas:

$$g = \frac{3.335 \times 10^{15}}{4 \times 10^{14}} = 8.34 \, \text{m/s}^2$$

El valor del camp gravitatori a la superfície del planeta és de $8.34 \, \text{m/s}^2$.