Tir parabòlic. Llançament des d’un edifici

Es llença un objecte des del punt més alt d’un edifici de $30$ m d’alçada, amb una velocitat inicial de $30$ m/s i amb angle de $30$º amb l’horitzontal. Troba: a) Les equacions de moviment. b) El temps que triga l’objecte a assolir la seva alçada màxima. c) El valor de l’alçada màxima respecte del terra. d) El temps que triga a arribar a terra. e) La distància entre la base de l’edifici i el punt d’impacte a terra. f) La velocitat amb què arriba a terra.

Dades del problema:

• Alçada inicial de l’edifici: $h_0 = 30 \, \text{m}$
• Velocitat inicial: $v_0 = 30 \, \text{m/s}$
• Angle de llançament: $\theta = 30^\circ$
• Acceleració deguda a la gravetat: $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$

a) Equacions de moviment

La velocitat inicial es pot descompondre en dues components:

• Component horitzontal: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta)$
• Component vertical: $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta)$

Aleshores:

$$v_{0x} = 30 \cdot \cos(30^\circ) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 25.98 \, \text{m/s}$$
$$v_{0y} = 30 \cdot \sin(30^\circ) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \, \text{m/s}$$

Les equacions de moviment de l’objecte són:

• Moviment en l’eix (x) (horitzontal):
  $$x(t) = v_{0x} \cdot t = 25.98 \cdot t$$
  Ja que no hi ha acceleració en l’eix (x) (no hi ha fricció ni resistència de l’aire).
• Moviment en l’eix (y) (vertical):
  $$y(t) = h_0 + v_{0y} \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2$$
  $$y(t) = 30 + 15 \cdot t – \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2$$
  $$y(t) = 30 + 15 \cdot t – 4.9 \cdot t^2$$

b) Temps per assolir l’alçada màxima

A l’alçada màxima, la velocitat vertical és zero, és a dir, $v_y = 0$.

L’equació de velocitat en l’eix $y$ és:
$$v_y(t) = v_{0y} – g \cdot t$$
$$0 = 15 – 9.8 \cdot t$$
$$t = \frac{15}{9.8} \approx 1.53 \, \text{segons}$$

Aquest és el temps que triga l’objecte a assolir l’alçada màxima.

c) Alçada màxima respecte al terra

Per trobar l’alçada màxima, avaluem l’equació de la posició en $y(t)) en (t = 1.53 \, \text{s}$:

$$y_{\text{màx}} = 30 + 15 \cdot (1.53) – 4.9 \cdot (1.53)^2$$
$$y_{\text{màx}} = 30 + 22.95 – 11.47$$
$$y_{\text{màx}} \approx 41.48 \, \text{m}$$

L’alçada màxima que assoleix l’objecte respecte al terra és d’aproximadament $41.48 \, \text{m}$.

d) Temps que triga a arribar al terra

Quan l’objecte arriba al terra, l’alçada $y(t) = 0$. Utilitzem l’equació del moviment vertical per resoldre $t$:

$$0 = 30 + 15 \cdot t – 4.9 \cdot t^2$$

Resolem aquesta equació quadràtica:

$$4.9 \cdot t^2 – 15 \cdot t – 30 = 0$$

Utilitzem la fórmula quadràtica per trobar $t$:

$$t = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 – 4 \cdot 4.9 \cdot (-30)}}{2 \cdot 4.9}$$
$$t = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 588}}{9.8}$$
$$t = \frac{15 \pm \sqrt{813}}{9.8}$$
$$t = \frac{15 \pm 28.5}{9.8}$$

Obtenim dues solucions per a $t$, però només la positiva té sentit en aquest context:
$$t \approx \frac{15 + 28.5}{9.8} \approx \frac{43.5}{9.8} \approx 4.44 \, \text{segons}$$

L’objecte triga aproximadament $4.44 \, \text{segons}$ en arribar al terra.

e) Distància entre la base de l’edifici i el punt d’impacte al terra

Per trobar la distància horitzontal, utilitzem l’equació del moviment en $x(t)$ avaluada en el temps total $t = 4.44 \, \text{s}$:

$$x(t) = v_{0x} \cdot t = 25.98 \cdot 4.44$$
$$x(t) \approx 115.44 \, \text{m}$$

La distància entre la base de l’edifici i el punt d’impacte és d’aproximadament $115.44 \, \text{m}$.

f) Velocitat amb què arriba al terra

La velocitat amb què l’objecte arriba al terra té components en $x$ i $y$:

• Component horitzontal $v_x$ (constant):
  $$v_x = v_{0x} = 25.98 \, \text{m/s}$$
• Component vertical $v_y$ en el temps $t = 4.44 \, \text{s}$:
  $$v_y = v_{0y} – g \cdot t = 15 – 9.8 \cdot 4.44$$
  $$v_y \approx 15 – 43.51 = -28.51 \, \text{m/s}$$

La velocitat total és la combinació de les dues components:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(25.98)^2 + (-28.51)^2}$$
$$v \approx \sqrt{674.4 + 812.3} = \sqrt{1486.7} \approx 38.56 \, \text{m/s}$$

La velocitat amb què arriba al terra és aproximadament $38.56 \, \text{m/s}$.

Versió en castellà