Física d’un mòbil

Un mòbil descriu una circumferència de $20$ cm de radi. Partint del repòs, es mou amb una acceleració angular constant i, quan han passat $5$ s, la seva velocitat angular és de $300$ rpm. Calcula, per a aquest temps, la velocitat lineal, l’acceleració angular, l’acceleració tangencial, l’acceleració normal, l’acceleració total, l’espai recorregut i l’angle girat.

Pas 1: Convertim les dades a unitats del SI

• Radi: \( r = 20 \, \text{cm} = 0,2 \, \text{m} \).

• Velocitat angular: \( \omega = 300 \, \text{rpm} \). Convertim a rad/s: \[\omega = 300 \cdot \frac{2 \pi}{60} = 10 \pi \approx 31,42 \, \text{rad/s}\]

• Temps: \( t = 5 \, \text{s} \).

Pas 2: Velocitat lineal \[v = \omega r = 31,42 \cdot 0,2 \approx 6,28 \, \text{m/s}\]

Pas 3: Acceleració angular. Partint del repòs (\( \omega_0 = 0 \)), l’acceleració angular constant \( \alpha \) es calcula amb: \[\omega = \omega_0 + \alpha t \implies 31,42 = 0 + \alpha \cdot 5 \implies \alpha = \frac{31,42}{5} \approx 6,28 \, \text{rad/s}^2\]

Pas 4: Acceleració tangencial. \[a_t = \alpha r = 6,28 \cdot 0,2 = 1,26 \, \text{m/s}^2\]

Pas 5: Acceleració normal \[a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = (31,42)^2 \cdot 0,2 \approx 987,2 \cdot 0,2 \approx 197,44 \, \text{m/s}^2\]

Pas 6: Acceleració total \[a_{\text{total}} = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(1,26)^2 + (197,44)^2} \approx \sqrt{1,59 + 38982,6} \approx 197,44 \, \text{m/s}^2\] (L’acceleració normal domina, per la qual cosa \( a_{\text{total}} \approx a_n \)).

Pas 7: Angle girat. L’angle \( \theta \) descrit amb acceleració angular constant és: \[\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 6,28 \cdot (5)^2 = 3,14 \cdot 25 = 78,5 \, \text{rad}\]

Pas 8: Espai recorregut L’espai recorregut \( s \) en una trajectòria circular és: \[s = r \theta = 0,2 \cdot 78,5 = 15,7 \, \text{m}\]

Resposta final

• Velocitat lineal: \( v \approx 6,28 \, \text{m/s} \).

• Acceleració angular: \( \alpha \approx 6,28 \, \text{rad/s}^2 \).

• Acceleració tangencial: \( a_t \approx 1,26 \, \text{m/s}^2 \).

• Acceleració normal: \( a_n \approx 197,44 \, \text{m/s}^2 \).

• Acceleració total: \( a_{\text{total}} \approx 197,44 \, \text{m/s}^2 \).

• Espai recorregut: \( s \approx 15,7 \, \text{m} \).

• Angle girat: \( \theta \approx 78,5 \, \text{rad} \).