Caça bombarder i tanc

Un caça bombarder vola horitzontalment a $1500$ m, amb una velocitat de $180$ km/h, i veu venir un tanc en sentit contrari. Calculeu a quina distància del tanc ha de deixar anar un míssil per fer-lo caure sobre el tanc si aquest es mou amb una velocitat constant de $45$ km/h.

Per resoldre aquest problema, hem de trobar la distància horitzontal entre el caça bombarder i el tanc en el moment que el míssil és llançat per tal que el míssil impacti en el tanc. Utilitzarem les equacions del moviment per determinar el temps que triga el míssil en caure i el desplaçament horitzontal del tanc durant aquest temps.

Dades del problema:

• Alçada del caça bombarder: $h = 1500$ m
• Velocitat del caça bombarder: $v_{\text{caça}} = 180$ km/h
• Velocitat del tanc: $v_{\text{tanc}} = 45$ km/h
• Acceleració deguda a la gravetat: $g = 9.8$ m/s²

Convertim les velocitats a m/s:
$$v_{\text{caça}} = \frac{180 \text{ km/h}}{3.6} = 50 \text{ m/s}$$
$$v_{\text{tanc}} = \frac{45 \text{ km/h}}{3.6} = 12.5 \text{ m/s}$$

(1) Temps que triga el míssil en caure

Utilitzem l’equació del moviment vertical per determinar el temps $t$ que triga el míssil en caure des d’una alçada de $1500$ m:
$$h = \frac{1}{2} g t^2$$

$$1500 = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2$$
$$1500 = 4.9 t^2$$
$$t^2 = \frac{1500}{4.9}$$
$$t^2 \approx 306.12$$
$$t \approx \sqrt{306.12}$$
$$t \approx 17.5 \text{ s}$$

(2) Desplaçament horitzontal del tanc durant aquest temps

Durant aquest temps, el tanc es desplaça horitzontalment:
$$d_{\text{tanc}} = v_{\text{tanc}} \cdot t$$
$$d_{\text{tanc}} = 12.5 \text{ m/s} \cdot 17.5 \text{ s}$$
$$d_{\text{tanc}} \approx 218.75 \text{ m}$$

(3) Desplaçament horitzontal del míssil

El míssil ha de recórrer la mateixa distància horitzontal que el tanc durant el mateix temps. Així, la distància horitzontal des del punt de llançament fins a l’impacte:
$$d_{\text{míssil}} = v_{\text{caça}} \cdot t$$
$$d_{\text{míssil}} = 50 \text{ m/s} \cdot 17.5 \text{ s}$$
$$d_{\text{míssil}} \approx 875 \text{ m}$$

(4) Distància entre el caça bombarder i el tanc en el moment de llançar el míssil

Perquè el míssil impacti en el tanc, el caça bombarder ha de llançar el míssil quan el tanc està a una distància $d_{\text{míssil}}$ davant del punt de llançament del míssil. Sabem que el tanc també es desplaça una distància $d_{\text{tanc}}$ en el temps $t$:

La distància total horitzontal entre el caça bombarder i el tanc en el moment del llançament serà la suma de les distàncies:
$$d_{\text{total}} = d_{\text{míssil}} + d_{\text{tanc}}$$
$$d_{\text{total}} = 875 \text{ m} + 218.75 \text{ m}$$
$$d_{\text{total}} \approx 1093.75 \text{ m}$$

Resum

El caça bombarder ha de llançar el míssil quan està aproximadament a $1093.75$ metres del tanc perquè aquest impacti en el tanc en moviment.