En un circuit de carreres

Ens trobem en un circuit de carreres de cotxes teledirigits; el circuit és circular, de 400 m de radi. Volem provar un cotxe fent que assoleixi una velocitat de 72 km/h al cap de 50 s i que després mantingui aquesta velocitat. Cal dibuixar el circuit i calcular: a) L’acceleració tangencial en la primera etapa del moviment. b) Les acceleracions normal i total als 50 s. c) L’angle descrit pel cotxe en els 50 s. d) La seva velocitat angular en aquest instant. e) El temps que tardarà el cotxe a fer 100 voltes al circuit.

Pas 1: Convertim la velocitat a unitats del SI \[v = 72 \, \text{km/h} = 72 \cdot \frac{1000}{3600} = 20 \, \text{m/s}\]

a) Acceleració tangencial en la primera etapa. En els primers 50 s, el cotxe accelera uniformement des de \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \) fins a \( v = 20 \, \text{m/s} \). L’acceleració tangencial \( a_t \) és: \[a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{20 – 0}{50} = 0,4 \, \text{m/s}^2\]

b) Acceleracions normal i total als 50 s. Als 50 s, el cotxe ha assolit \( v = 20 \, \text{m/s} \) i manté aquesta velocitat, per tant, l’acceleració tangencial és zero (\( a_t = 0 \)), però hi ha acceleració normal \( a_n \) perquè el moviment és circular: \[a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(20)^2}{400} = \frac{400}{400} = 1 \, \text{m/s}^2\] L’acceleració total \( a_{\text{total}} \) és: \[a_{\text{total}} = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \, \text{m/s}^2\]

c) Angle descrit pel cotxe en els 50 s Durant els 50 s, el cotxe accelera uniformement, per tant, el desplaçament angular \( \theta \) es pot calcular usant el moviment uniformement accelerat. La velocitat angular mitjana és: \[\omega_{\text{mitjana}} = \frac{\omega_{\text{final}}}{2}, \quad \omega_{\text{final}} = \frac{v}{r} = \frac{20}{400} = 0,05 \, \text{rad/s}\] L’angle descrit és: \[\theta = \omega_{\text{mitjana}} \cdot t = \frac{0,05}{2} \cdot 50 = 0,025 \cdot 50 = 1,25 \, \text{rad}\]

d) Velocitat angular als 50 s Ja l’hem calculada: \[\omega = \frac{v}{r} = 0,05 \, \text{rad/s}\]

e) Temps per fer 100 voltes al circuit Una volta completa correspon a un angle de \( 2\pi \, \text{rad} \). La longitud d’una volta és: \[L = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 400 = 2513,27 \, \text{m}\] La velocitat constant després dels 50 s és \( v = 20 \, \text{m/s} \). El temps per fer una volta és: \[t_{\text{volta}} = \frac{L}{v} = \frac{2513,27}{20} \approx 125,66 \, \text{s}\] Temps per a 100 voltes: \[t_{\text{100 voltes}} = 100 \cdot 125,66 = 12566 \, \text{s} \approx 209,4 \, \text{min} \approx 3,49 \, \text{hores}\]

Resposta final

a) \( a_t = 0,4 \, \text{m/s}^2 \).

b) \( a_n = 1 \, \text{m/s}^2 \), \( a_{\text{total}} = 1 \, \text{m/s}^2 \).

c) \( \theta = 1,25 \, \text{rad} \).

d) \( \omega = 0,05 \, \text{rad/s} \).

e) \( t \approx 12566 \, \text{s} \approx 3,49 \, \text{hores} \).