Lanzamiento desde un edificio

Se lanza un objeto desde el punto más alto de un edificio de 30 m de altura, con una velocidad inicial de 30 m/s y con ángulo de 30º con la horizontal. Halla: a) Las ecuaciones de movimiento. b) El tiempo que tarda el objeto en alcanzar su altura máxima. c) El valor de la altura máxima respecto al suelo. d) El tiempo que tarda en llegar al suelo. e) La distancia entre la base del edificio y el punto de impacto en el suelo. f) La velocidad con la que llega al suelo.

Este es un problema típico de lanzamiento oblicuo, donde el objeto sigue una trayectoria parabólica. Vamos a resolver cada uno de los puntos:

Datos del problema:

– Altura inicial del edificio: \( h_0 = 30 \, \text{m} \)

– Velocidad inicial: \( v_0 = 30 \, \text{m/s} \)

– Ángulo de lanzamiento: \( \theta = 30^\circ \)

– Aceleración debida a la gravedad: \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)

a) Ecuaciones de movimiento La velocidad inicial se puede descomponer en dos componentes:

– Componente horizontal: \( v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \)

– Componente vertical: \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \) Por lo tanto:\[v_{0x} = 30 \cdot \cos(30^\circ) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 25.98 \, \text{m/s}\]\[v_{0y} = 30 \cdot \sin(30^\circ) = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \, \text{m/s}\]Las ecuaciones de movimiento del objeto son:-

• Movimiento en el eje \(x\) (horizontal): \[ x(t) = v_{0x} \cdot t = 25.98 \cdot t \] Ya que no hay aceleración- en el eje \(x\) (no hay fricción ni resistencia del aire).

• Movimiento en el eje \(y\) (vertical): \[ y(t) = h_0 + v_{0y} \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2 \] \[ y(t) = 30 + 15 \cdot t – \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2 \] \[ y(t) = 30 + 15 \cdot t – 4.9 \cdot t^2 \]

b) Tiempo para alcanzar la altura máxima En la altura máxima, la velocidad vertical es cero, es decir, \( v_y = 0 \). La ecuación de velocidad en el eje \(y\) es:\[v_y(t) = v_{0y} – g \cdot t\]\[0 = 15 – 9.8 \cdot t\]\[t = \frac{15}{9.8} \approx 1.53 \, \text{segundos}\]Este es el tiempo que tarda el objeto en alcanzar la altura máxima.

c) Altura máxima respecto al suelo Para hallar la altura máxima, evaluamos la ecuación de posición en \(y(t)\) en \(t = 1.53 \, \text{s}\):\[y_{\text{máx}} = 30 + 15 \cdot (1.53) – 4.9 \cdot (1.53)^2\]\[y_{\text{máx}} = 30 + 22.95 – 11.47\]\[y_{\text{máx}} \approx 41.48 \, \text{m}\]La altura máxima que alcanza el objeto respecto al suelo es de aproximadamente \(41.48 \, \text{m}\).

d) Tiempo que tarda en llegar al suelo Cuando el objeto llega al suelo, la altura \(y(t) = 0\). Usamos la ecuación del movimiento vertical para resolver \(t\):\[0 = 30 + 15 \cdot t – 4.9 \cdot t^2\]Resolviendo esta ecuación cuadrática:\[4.9 \cdot t^2 – 15 \cdot t – 30 = 0\]Usamos la fórmula cuadrática para encontrar \(t\):\[t = \frac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2 – 4 \cdot 4.9 \cdot (-30)}}{2 \cdot 4.9}\]\[t = \frac{15 \pm \sqrt{225 + 588}}{9.8}\]\[t = \frac{15 \pm \sqrt{813}}{9.8}\]\[t = \frac{15 \pm 28.5}{9.8}\]Obtenemos dos soluciones para \(t\), pero solo la positiva tiene sentido en este contexto:\[t \approx \frac{15 + 28.5}{9.8} \approx \frac{43.5}{9.8} \approx 4.44 \, \text{segundos}\]El objeto tarda aproximadamente \( 4.44 \, \text{segundos} \) en llegar al suelo.

e) Distancia entre la base del edificio y el punto de impacto en el suelo. Para hallar la distancia horizontal, usamos la ecuación del movimiento en \(x(t)\) evaluada en el tiempo total \( t = 4.44 \, \text{s} \):\[x(t) = v_{0x} \cdot t = 25.98 \cdot 4.44\]\[x(t) \approx 115.44 \, \text{m}\]La distancia entre la base del edificio y el punto de impacto es de aproximadamente \(115.44 \, \text{m}\).

f) Velocidad con la que llega al suelo. La velocidad con la que el objeto llega al suelo tiene componentes en \(x\) y \(y\):- Componente horizontal \(v_x\) (constante): \[ v_x = v_{0x} = 25.98 \, \text{m/s} \]- Componente vertical \(v_y\) en el tiempo \( t = 4.44 \, \text{s} \): \[ v_y = v_{0y} – g \cdot t = 15 – 9.8 \cdot 4.44 \] \[ v_y \approx 15 – 43.51 = -28.51 \, \text{m/s} \]La velocidad total es la combinación de las dos componentes:\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(25.98)^2 + (-28.51)^2}\]\[v \approx \sqrt{674.4 + 812.3} = \sqrt{1486.7} \approx 38.56 \, \text{m/s}\]La velocidad con la que llega al suelo es aproximadamente \(38.56 \, \text{m/s}\).