Una centrifugadora

Una centrifugadora de $12$ cm de radi, inicialment en repòs, accelera uniformement durant $20$ s. En aquest interval de temps, \( \alpha = 100 \pi \, \text{rad/s}^2 \). Després manté constant la velocitat adquirida. a) Amb quina velocitat gira la centrifugadora quan fa $20$ s que funciona? Expressa el resultat en rpm. b) Quantes voltes ha fet la centrifugadora després de funcionar durant $20$ s? I després de funcionar $50$ s? c) Calcula les acceleracions tangencial i normal màximes que tenen els objectes a l’interior de la centrifugadora quan fa $1$ min que gira.

Pas 1: Dades inicials

• Radi: \( r = 12 \, \text{cm} = 0,12 \, \text{m} \).

• Acceleració angular: \( \alpha = 100 \pi \approx 314,16 \, \text{rad/s}^2 \). – Temps d’acceleració: \( t = 20 \, \text{s} \).

• Després de 20 s, la velocitat angular es manté constant.

a) Velocitat angular als 20 s i conversió a rpm La velocitat angular \( \omega \) després de 20 s es calcula amb: \[\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (100 \pi) \cdot 20 = 2000 \pi \approx 6283,2 \, \text{rad/s}\] Convertim a rpm (revolucions per minut): \[\omega_{\text{rpm}} = \omega \cdot \frac{60}{2 \pi} = 2000 \pi \cdot \frac{60}{2 \pi} = 2000 \cdot 30 = 60000 \, \text{rpm}\]

b) Voltes als 20 s i als 50 s

• Als 20 s: Durant l’acceleració uniforme, l’angle descrit \( \theta \) és: \[\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} (100 \pi) (20)^2 = 50 \pi \cdot 400 = 20000 \pi \approx 62831,9 \, \text{rad}\] Nombre de voltes (\( 1 \, \text{volta} = 2 \pi \, \text{rad} \)): \[\text{Voltes} = \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{20000 \pi}{2 \pi} = 10000 \, \text{voltes}\]

• Als 50 s: Després dels 20 s, la velocitat angular és constant (\( \omega = 2000 \pi \, \text{rad/s} \)) durant \( 50 – 20 = 30 \, \text{s} \). L’angle descrit en aquest període és: \[\theta_{\text{constant}} = \omega t = (2000 \pi) \cdot 30 = 60000 \pi \approx 188495,6 \, \text{rad}\] Angle total als 50 s: \[\theta_{\text{total}} = 20000 \pi + 60000 \pi = 80000 \pi \approx 251327,4 \, \text{rad}\] Voltes als 50 s: \[\text{Voltes} = \frac{80000 \pi}{2 \pi} = 40000 \, \text{voltes}\]

c) Acceleracions tangencial i normal màximes als 60 s (1 min). Als 60 s, la centrifugadora ja fa 40 s que gira a velocitat constant (\( \omega = 2000 \pi \, \text{rad/s} \)).

• Acceleració tangencial \( a_t \): Com que la velocitat angular és constant, l’acceleració angular és zero: \[a_t = r \alpha = r \cdot 0 = 0 \, \text{m/s}^2\]

• Acceleració normal \( a_n \): \[v = \omega r = (2000 \pi) \cdot 0,12 \approx 753,98 \, \text{m/s}\] \[a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = (2000 \pi)^2 \cdot 0,12 \approx (6283,2)^2 \cdot 0,12 \approx 4,74 \cdot 10^6 \, \text{m/s}^2\] Aquestes són les acceleracions màximes, ja que la velocitat angular és màxima i constant després dels 20 s.

Resposta final:

a) \( \omega = 60000 \, \text{rpm} \).

b) 10000 voltes als 20 s; 40000 voltes als 50 s.

c) \( a_t = 0 \, \text{m/s}^2 \), \( a_n \approx 4,74 \cdot 10^6 \, \text{m/s}^2 \).