Càlcul camp gravitatori a la superfície de la Terra

El període de revolució de la Lluna al voltant de la Terra és de $27,31$ dies, amb un radi de $3,84\cdot10^8$ m. Calculeu la intensitat de camp gravitatori a la superfície de la Terra. Dades: $R_T = 6370$ km

Per calcular la intensitat del camp gravitatori a la superfície de la Terra, podem utilitzar la llei de gravitació universal de Newton i la tercera llei de Kepler per determinar la massa de la Terra, que després ens permetrà trobar la intensitat del camp gravitatori.

1. Determinar la massa de la Terra

Sabem que el període de revolució de la Lluna al voltant de la Terra és de $27,31$ dies i que la distància entre la Lluna i la Terra és de $r_{\text{Lluna}} = 3.84 \times 10^8 \, \text{m}$.

La fórmula per al període orbital en funció de la massa de la Terra és:

$$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M_{\text{Terra}}}$$

On:

• $T$ és el període orbital de la Lluna (en segons).
• $r$ és el radi orbital de la Lluna.
• $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2$ és la constant de gravitació universal.

Podem reordenar aquesta equació per trobar la massa de la Terra:

$$M_{\text{Terra}} = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2}$$

2. Convertir el període orbital en segons

El període de la Lluna és de $27,31$ dies. Cal convertir-lo a segons:
$$T = 27.31 \times 24 \times 60 \times 60 \, \text{s}$$

3. Calcular la massa de la Terra i el camp gravitatori

Amb la massa de la Terra calculada, podem utilitzar la fórmula per a la intensitat del camp gravitatori a la superfície de la Terra:

$$g = \frac{GM_{\text{Terra}}}{R_{\text{Terra}}^2}$$

On $R_{\text{Terra}} = 6370 \, \text{km} = 6.37 \times 10^6 \, \text{m}$.

1. Conversió del període orbital a segons:

$$T = 27.31 \times 24 \times 60 \times 60 = 2.36 \times 10^6 \, \text{s}$$

2. Càlcul de la massa de la Terra:

Substituïm els valors coneguts a la fórmula:

$$M_{\text{Terra}} = \frac{4 \pi^2 (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.36 \times 10^6)^2}$$

Aquest càlcul et donarà aproximadament:

$$M_{\text{Terra}} \approx 5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}$$

3. Càlcul del camp gravitatori:

Ara que tenim la massa de la Terra, utilitzem la fórmula per al camp gravitatori:

$$g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2}$$

Això et donarà el valor del camp gravitatori a la superfície de la Terra, que és aproximadament:

$$g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$$