Una barra de llautó. Tensió màxima i longitud màxima

Una barra de llautó de $20$ mm de diàmetre i $500$ mm de longitud, té un mòdul d’elasticitat $110$ GPa i deixa de tindre comportament elàstic per esforços superiors a $240$ MPa. Determineu la tensió màxima que es pot aplicar i la longitud màxima a la que es pot estirar sense que es produeixi deformació plàstica.

Dades del problema:

• Diàmetre de la barra $d = 20 \, \text{mm} = 0.02 \, \text{m}$
• Longitud de la barra $L_0 = 500 \, \text{mm} = 0.5 \, \text{m}$
• Mòdul d’elasticitat $E = 110 \, \text{GPa} = 110 \times 10^9 \, \text{Pa}$
• Límit elàstic $\sigma_{\text{el}} = 240 \, \text{MPa} = 240 \times 10^6 \, \text{Pa}$

a) Tensió màxima que es pot aplicar

La tensió màxima que es pot aplicar sense que la barra deixi de tenir comportament elàstic és el límit elàstic del material. En aquest cas, és directament la tensió de $240$ MPa:

$$\sigma_{\text{max}} = 240 \, \text{MPa}$$

Això vol dir que la tensió màxima que es pot aplicar és de $240$ MPa, ja que és el valor donat del límit elàstic.

b) Longitud màxima de la barra sense deformació plàstica

Per calcular la longitud màxima a la qual es pot estirar la barra sense que hi hagi deformació plàstica, utilitzarem la llei de Hooke, que ens diu que la deformació $\epsilon$ és proporcional a la tensió $\sigma$ en la zona elàstica:

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E}$$

Aquesta deformació és la fracció de canvi en la longitud, i la longitud final $L_f$ es pot calcular amb la fórmula:

$$L_f = L_0 + \Delta L = L_0 \cdot (1 + \epsilon)$$

Primer calculem la deformació màxima possible, utilitzant la tensió màxima:

$$\epsilon = \frac{\sigma_{\text{max}}}{E} = \frac{240 \times 10^6}{110 \times 10^9}$$

Anem a calcular-ho.

Sembla que no puc fer càlculs avançats ara mateix. Si us plau, intenta-ho més tard, o si ho prefereixes, et puc guiar pas a pas per fer el càlcul manualment.

Guia per al càlcul de la longitud màxima:

1. La deformació màxima es calcula com:
   $$\epsilon_{\text{max}} = \frac{240 \times 10^6}{110 \times 10^9} = 0.00218$$
2. La longitud màxima serà:
   $$L_{\text{max}} = L_0 \cdot (1 + \epsilon_{\text{max}}) = 0.5 \cdot (1 + 0.00218) = 0.50109 \, \text{m}$$

Així, la longitud màxima a la qual es pot estirar la barra sense deformació plàstica seria d’aproximadament $501.09 \, \text{mm}$.