Juny de 2000 – Sèrie 1 – Qüestió 2

Calculeu l’àrea que té l’únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions $y=-x^2+7$ i $y=\displaystyle\frac{6}{x}$ representat en el dibuix següent:

Primer hem de trobar els punts de tall de les dues funcions:

$$\displaystyle\frac{6}{x}=-x^2+7 \Rightarrow x^3-7x+6=0$$

$$\begin{array}{r|rrrr} &1&0&-7&6 \\ 1&&1&1&-6 \\ \hline &1&1&-6&\color{grey}{0} \\ 2&&2&6& \\ \hline &1&3&\color{grey}{0} \\ -3&&3&& \\ \hline &1&\color{grey}{0} \end{array}$$

Només ens interessen els dos punts de tall d’abscissa positiva, $x=1$ i $x=2$.

L’àrea que ens demanen és:

$$\displaystyle \begin{align} A &= \int_{1}^{2} -x^2+7 – \frac{6}{x} dx = \left[ – \frac{x^3}{3} + 7x – 6\ln{x} \right]_{1}^{2} = \\ &= \left( – \frac{2^3}{3} + 7·2 – 6\ln{2} \right) – \left( – \frac{1^3}{3} + 7·1 – 6\ln{1} \right) = \\ &= \frac{14}{3} – 6\ln{2} \approx 0.508 u.a. \end{align}$$