Càlcul d’àrees

Càlcul d’àrees
7 d'abril de 2023 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Donades les funcions $f(x)=2xe^{-x}$ i $g(x)=x^2e^{-x}$, calcula raonadament l’àrea del recinte tancat limitada per les gràfiques d’aquestes funcions.

Per trobar l’àrea del recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions $f(x)$ i $g(x)$, hem de trobar els punts d’intersecció de les dues funcions. Aquests punts d’intersecció són les abscisses dels punts on les dues funcions s’igualen, és a dir, $f(x) = g(x)$.

\begin{align} 2xe^{-x} &= x^2e^{-x} \\ 2x &= x^2 \\ x(x – 2) &= 0 \\ x &= 0 \quad \text{ó} \quad x = 2 \end{align}

Per calcular l’àrea d’aquest recinte, podem utilitzar la fórmula de la integral definida:

\begin{align} \int_0^2 (g(x) – f(x)),dx &= \int_0^2 (x^2e^{-x} – 2xe^{-x}),dx \\ &= \int_0^2 xe^{-x}(x-2),dx \\ &= \left[-xe^{-x}(x-3)\right]_0^2 + \int_0^2 e^{-x}(x-3),dx \\ &= (-2e^{-2}(2-3) – 0) + \left[-e^{-x}(x-4)\right]_0^2 \\ &= e^{-2} + (e^{-2}(2-4) – (-e^0(0-4))) \\ &= 4 – 3e^{-2} \approx 3.272 \end{align}

Per tant, l’àrea del recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions $f(x)$ i $g(x)$ és aproximadament $3.272$ unitats quadrades.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *