Examen selectivitat Catalunya. Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 1

Considereu la matriu

$$\displaystyle \boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & a+1 & (a+1)^2 \\ 1 & a-1 & (a-1)^2 \end{array}\right)$$
per a $a\in\mathbb{R}$.

Calculeu el rang de la matriu $\boldsymbol{M}$ en funció dels valors del paràmetre $a$.

Per calcular el rang de la matriu $\boldsymbol{M}$, podem realitzar operacions elementals de fila per convertir la matriu a la seva forma esglaonada reduïda per files (REF). El rang de la matriu és igual al nombre de files no nul·les en la seva forma REF. Realitzem les operacions següents:

\begin{align} \left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 & \\ 1 & a+1 & (a+1)^2 & \\ 1 & a-1 & (a-1)^2 & \end{array}\right) &\xrightarrow{F_2-F_1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 & \\ 0 & 1 & 2a+1 & \\ 1 & a-1 & (a-1)^2 & \end{array}\right) \\ &\xrightarrow{F_3-F_1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 & \\ 0 & 1 & 2a+1 & \\ 0 & -a-1 & -(a-1)^2-a^2 & \end{array}\right) \\ &\xrightarrow{F_3+(a+1)F_2}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 & \\ 0 & 1 & 2a+1 & \\ 0 & 0 & -(a+1)^2 & \end{array}\right) \\ &\xrightarrow{F_3\cdot (-1)}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 & \\ 0 & 1 & 2a+1 & \\ 0 & 0 & (a+1)^2 & \end{array}\right) \end{align}

Observem que la tercera fila de la forma REF de $\boldsymbol{M}$ té tots els seus elements diferents de zero si i només si $a\neq -1$. En aquest cas, la matriu $\boldsymbol{M}$ té rang $3$. Si $a=-1$, la tercera fila de la forma REF de $\boldsymbol{M}$ és una combinació lineal de les altres dues files, de manera que la matriu $\boldsymbol{M}$ té rang $2$.